테일러·매클로린 급수 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.3절 · 58번

OpenStax 2권 · 6.3절 · 58번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $q(x)=\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{(x-c)}^{n}$ 이 $c$ 를 포함하는 구간에서 수렴하면 $\lim_{x\to c}q(x)={a}_{0}^{}$ 이라는 사실을 이용하여, 테일러 급수를 써서 각 극한의 값을 구하세요.

$\lim_{x\to {0}^{+}}\frac{\cos \left(\sqrt{x}\right)-1}{2x}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the fact that if $q(x)=\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{(x-c)}^{n}$ converges in an interval containing $c,$ then $\lim_{x\to c}q(x)={a}_{0}^{}$ to evaluate each limit using Taylor series.

$\lim_{x\to {0}^{+}}\frac{\cos \left(\sqrt{x}\right)-1}{2x}$

정답·풀이 보기

$\frac{\cos \left(\sqrt{x}\right)-1}{2x}\approx \frac{\left(1-\frac{x}{2}+\frac{{x}^{2}}{4!}-\cdots \right)-1}{2x}\to -\frac{1}{4}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{\cos \left(\sqrt{x}\right)-1}{2x}\approx \frac{\left(1-\frac{x}{2}+\frac{{x}^{2}}{4!}-\cdots \right)-1}{2x}\to -\frac{1}{4}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.3절 · 10번우리말 번역

다음 연습문제에서, 나머지 추정식 $|{R}_{n}|\le \frac{M}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1},$ (여기서 M 은 a 와 주어진 점 사이의 구간에서 $|{f}^{(n+1)}(z)|$ 의 최댓값이다)에서 주어진 n 의 값이 $|{R}_{n}|\le \frac{1}{1000}$ 을 만족시킴을 보이세요. 주어진 점에서 $f$ 의 테일러 다항식 p_n 의 값을 구하세요. $|Rn|$ 이 $1/1000$ 보다 작지 않다면, 그 값이 얼마인지 구하세요.

[계산기 사용] ${(28)}^{1/3};a=27,n=1$

다 풀었으면 정답 확인

$x\ge 28$ 일 때 $\frac{{d}^{2}}{d{x}^{2}}{x}^{1/3}=-\frac{2}{9{x}^{5/3}}\ge -0.00092\ldots$ 이므로 나머지 추정식을 선형 근사 ${x}^{1/3}\approx {p}_{1}(27)=3+\frac{x-27}{27}$ 에 적용할 수 있고, 이로부터 ${(28)}^{1/3}\approx 3+\frac{1}{27}=3.\overline{037}$ 을 얻는다. 한편 ${(28)}^{1/3}\approx 3.03658$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류