매개변수 곡선의 미적분

왜 이렇게 할까요? $x$, $y$ 가 모두 $t$ 로 주어졌으니 기울기 $\frac{dy}{dx}$ 는 $\frac{dy}{dt}$ 를 $\frac{dx}{dt}$ 로 나눠서 구해요.

각각 $t$ 로 미분해요. $$\frac{dx}{dt}=1-\frac{1}{t^2},\qquad \frac{dy}{dt}=1+\frac{1}{t^2}$$

기울기를 식으로 써요. $$\frac{dy}{dx}=\frac{1+\frac{1}{t^2}}{1-\frac{1}{t^2}}=\frac{t^2+1}{t^2-1}\quad (t\ne 0,\ t\ne\pm1)$$ 분자와 분모에 $t^2$ 을 곱해서 분수를 없앴어요.

기울기가 1 인 $t$ 를 찾아요. $$\frac{t^2+1}{t^2-1}=1 \;\Longrightarrow\; t^2+1=t^2-1 \;\Longrightarrow\; 1=-1$$ 말이 되지 않는 식이 나왔어요. 이런 $t$ 는 없어요.

결론. 기울기가 1 이 되는 점은 곡선 위에 없어요. (참고로 $x^2-y^2=4$ 인 쌍곡선인데, 점근선의 기울기가 1 이라서 기울기가 1 에 한없이 가까워질 뿐 같아지지는 않아요.)