이계도함수와 오목·볼록 연습문제 — Active Calculus · 1.6절 · 12번

Active Calculus · 1.6절 · 12번우리말 번역

번지점프를 하는 사람의 높이 $h$ (피트 단위)가 시각 $t$ (초 단위)에 따라 변하는 모습이 다음 표에 일부 주어져 있다.

$t$	$0.0$	$0.5$	$1.0$	$1.5$	$2.0$	$2.5$	$3.0$	$3.5$	$4.0$	$4.5$	$5.0$
$h(t)$	$200$	$184.2$	$159.9$	$131.9$	$104.7$	$81.8$	$65.5$	$56.8$	$55.5$	$60.4$	$69.8$
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$h(t)$	$81.6$	$93.7$	$104.4$	$112.6$	$117.7$	$119.4$	$118.2$	$114.8$	$110.0$	$104.7$

(a) 주어진 자료를 이용하여 $h'(4.5)$ , $h'(5)$ , $h'(5.5)$ 를 어림하세요. 이 시각들 중 번지점프를 하는 사람이 가장 빠르게 올라가는 때는 언제인지 구하세요. (b) 주어진 자료와 (a)의 결과를 이용하여 $h''(5)$ 를 어림하세요. (c) $h''(5)$ 의 값은 번지점프를 하는 사람의 어떤 물리량을 나타내는지 설명하세요. 그 단위는 무엇인지 구하세요. (d) 자료를 바탕으로, 함수 $y = h(t)$ 가 위로 볼록한 시간 구간은 대략 어디인지 구하세요. 이 시간 구간에서 번지점프를 하는 사람의 속도는 어떻게 변하는지 설명하세요.

영어 원문 보기

A bungee jumper's height $h$ (in feet ) at time $t$ (in seconds) is given in part by the table:

$t$	$0.0$	$0.5$	$1.0$	$1.5$	$2.0$	$2.5$	$3.0$	$3.5$	$4.0$	$4.5$	$5.0$
$h(t)$	$200$	$184.2$	$159.9$	$131.9$	$104.7$	$81.8$	$65.5$	$56.8$	$55.5$	$60.4$	$69.8$
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$h(t)$	$81.6$	$93.7$	$104.4$	$112.6$	$117.7$	$119.4$	$118.2$	$114.8$	$110.0$	$104.7$

(a) Use the given data to estimate $h'(4.5)$ , $h'(5)$ , and $h'(5.5)$ . At which of these times is the bungee jumper rising most rapidly? (b) Use the given data and your work in (a) to estimate $h''(5)$ . (c) What physical property of the bungee jumper does the value of $h''(5)$ measure? What are its units? (d) Based on the data, on what approximate time intervals is the function $y = h(t)$ concave down? What is happening to the velocity of the bungee jumper on these time intervals?

정답·풀이 보기

(a) 요청된 미분계수를 어림하기 위해 중심차분을 사용한다. 따라서 $\begin{aligned}h'(4.5) &\approx \frac{h(5)-h(4)}{5-4} = \frac{69.8 - 55.5}{1} = 14.3 \\ h'(5) &\approx \frac{h(5.5)-h(4.5)}{5.5-4.4} = \frac{81.6 - 60.4}{1} = 21.2 \\ h'(5.5) &\approx \frac{h(6)-h(5)}{6-5} = \frac{93.7 - 69.8}{1} = 23.9\end{aligned}$ 번지점프를 하는 사람은 $t = 5.5$ 일 때 약 $23.9$ 피트/초의 속도로 가장 빠르게 올라간다. (b) 다시 중심차분을 사용하여 이번에는 $h''(5)$ 를 어림한다. 다음을 보면 $h''(5) \approx \frac{h'(5.5) - h'(4.5)}{5.5-4.5} = \frac{23.9 - 14.3}{1} = 9.6$ 이다. (c) $h''(5)$ 는 $t = 5$ 일 때 번지점프를 하는 사람의 가속도를 나타낸다. 따라서 $t = 5$ 일 때 그 사람의 가속도는 약 $9.6$ 피트/초²임을 알 수 있다. 이는 점프하는 사람의 속도의 순간변화율을 나타낸다. (d) 번지점프를 하는 사람의 위치 함수는 대략 구간 $0 < t < 2$ , $6 < t < 10$ 에서 위로 볼록하다. 이는 엑셀 같은 프로그램으로 자료를 그래프로 나타내면 가장 쉽게 확인할 수 있다. 이 시간 구간에서는 점프하는 사람의 속도가 감소한다. 즉, 속도가 양수이면서 덜 양수가 되거나, 음수이면서 더 음수가 된다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) We will use central differences to estimate the requested derivatives. Thus, $\begin{aligned}h'(4.5) &\approx \frac{h(5)-h(4)}{5-4} = \frac{69.8 - 55.5}{1} = 14.3 \\ h'(5) &\approx \frac{h(5.5)-h(4.5)}{5.5-4.4} = \frac{81.6 - 60.4}{1} = 21.2 \\ h'(5.5) &\approx \frac{h(6)-h(5)}{6-5} = \frac{93.7 - 69.8}{1} = 23.9\end{aligned}$ The bungee jumper is rising most rapidly at $t = 5.5$ , at a rate of about $23.9$ feet per second. (b) We again use a central difference, this time to estimate $h''(5)$ . Observe that $h''(5) \approx \frac{h'(5.5) - h'(4.5)}{5.5-4.5} = \frac{23.9 - 14.3}{1} = 9.6$ (c) $h''(5)$ measures the acceleration of the bungee jumper at $t = 5$ . Thus we know that the person's acceleration at $t = 5$ is about $9.6$ feet per second per second. This measures the instantaneous rate of change of the jumper's velocity. (d) The bungee jumper's position function is concave down on approximately the intervals $0 < t < 2$ , $6 < t < 10$ . This is easiest to see if we plot the data using a program like Excel. On these time intervals, the velocity of the jumper is decreasing: either the velocity is positive and getting less positive, or negative and getting more negative.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.6절 · 4번우리말 번역

함수 $f(x)=3x^5-5x^4+13x$ 의 그래프에서 모든 변곡점을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

변곡점은 $f''(x)$ 의 부호가 바뀌는 곳에서 생긴다. $f(x)$ 는 다항식이므로 1계도함수와 2계도함수가 모든 곳에서 존재하고, 이들도 다항식이다. 구체적으로,

$\begin{aligned}f(x)&=3x^5-5x^4+13x\\ f'(x)&=15x^4-20x^3+13\\ f''(x)&=60x^3-60x^2=60x^2(x-1) \end{aligned}$

2계도함수는 $x<1$ 에서 음수이고 $x>1$ 에서 양수이다. 따라서 $x=1,\ y=11$ 에서 볼록한 방향이 위로 볼록과 아래로 볼록 사이에서 바뀐다.

변곡점은 이것뿐이다. $f''(0)=0$ 이지만, $x$ 가 0보다 조금 큰 값이든 조금 작은 값이든 $f''(x)<0$ 이므로 $x=0$ 에서는 볼록한 방향이 바뀌지 않는다.

이 문제로 이어서 풀기

# 이계도함수와 오목·볼록그래프·표 해석자동 분류