삼각함수의 미분 연습문제 — Active Calculus · 2.2절 · 5번

Active Calculus · 2.2절 · 5번우리말 번역

$f(x) = 3\cos(x) - 2\sin(x) + 6$ 이라 하자.

(a) $a = \frac{\pi}{4}$ 인 점에서 $y = f(x)$ 의 접선의 기울기를 정확히 구하세요. (b) $a = \pi$ 인 점에서 $y = f(x)$ 의 접선을 이용한 근사식을 구하세요. (c) $a = \frac{\pi}{2}$ 인 점에서 $f$ 는 증가합니까, 감소합니까, 아니면 어느 쪽도 아닙니까? (d) $a = \frac{3\pi}{2}$ 인 점에서 $y = f(x)$ 의 접선은 곡선의 위쪽에 있습니까, 아래쪽에 있습니까, 아니면 어느 쪽도 아닙니까? 함수나 접선의 그래프를 그리지 않고도 이 문제에 답하려면 어떻게 해야 하는지 설명하세요.

영어 원문 보기

Let $f(x) = 3\cos(x) - 2\sin(x) + 6$ .

(a) Determine the exact slope of the tangent line to $y = f(x)$ at the point where $a = \frac{\pi}{4}$ . (b) Determine the tangent line approximation to $y = f(x)$ at the point where $a = \pi$ . (c) At the point where $a = \frac{\pi}{2}$ , is $f$ increasing, decreasing, or neither? (d) At the point where $a = \frac{3\pi}{2}$ , does the tangent line to $y = f(x)$ lie above the curve, below the curve, or neither? How can you answer this question without even graphing the function or the tangent line?

정답·풀이 보기

(a) $a = \frac{\pi}{4}$ 에서 $f$ 의 그래프에 접하는 직선의 기울기는 $f'\left(\frac{\pi}{4}\right)$ 이다. $f'\left(\frac{\pi}{4}\right)$ 를 구하기 위해 먼저 $f'(x)$ 를 구하면 $f'(x) = -3\sin(x) - 2\cos(x)$ 이다. 따라서 $\begin{aligned}f'\left(\frac{\pi}{4}\right) &= -3\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) - 2\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \\ & -3\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - 3\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -5\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\end{aligned}\,.$ (b) $a = \pi$ 에서 $f$ 의 일차근사식 $L(x)$ 는 $(x) = f(\pi) + f'(\pi)(x-\pi)$ L 이다. (a)에서 $f'(x)$ 를 구했으므로 $f'(\pi) = -3\sin(\pi) - 2\cos(\pi) = 2$ 이다. 또한 $f(\pi) = 3\cos(\pi) - 2\sin(\pi) + 6 = 3$ 이다. 따라서 $L(x) = 3+2(x-\pi)$ 이다. (c) 미분가능한 함수 $f$ 가 $x=a$ 에서 증가하는 것은 $f'(a) > 0$ 일 때, 그리고 그 경우에 한하고, 감소하는 것은 $f'(a) < 0$ 일 때, 그리고 그 경우에 한한다. 그런데 $f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -3\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - 2\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = -3$ 이므로 $f$ 는 $a = \frac{\pi}{2}$ 에서 감소한다. (d) 함수 $f$ 로 정의된 곡선이 $x=a$ 에서 아래로 볼록이면 $x=a$ 에서 $f$ 의 접선은 곡선의 아래쪽에 있고, $f$ 의 그래프가 $x=a$ 에서 위로 볼록이면 $x=a$ 에서 $f$ 의 접선은 곡선의 위쪽에 있다. 곡선의 오목·볼록은 이계도함수로 결정되며 $f''(x) = -3\cos(x)+2\sin(x)$ 이다. $f''\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -3\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) + 2\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -2$ 이므로 $f$ 의 그래프는 $a = \frac{3\pi}{2}$ 에서 위로 볼록이고, 이 점에서 $f$ 의 접선은 곡선의 위쪽에 있다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The slope of the line tangent to the graph of $f$ at $a = \frac{\pi}{4}$ is given by $f'\left(\frac{\pi}{4}\right)$ . To find $f'\left(\frac{\pi}{4}\right)$ we first find $f'(x)$ , which is $f'(x) = -3\sin(x) - 2\cos(x)$ . Thus, $\begin{aligned}f'\left(\frac{\pi}{4}\right) &= -3\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) - 2\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \\ & -3\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - 3\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -5\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\end{aligned}\,.$ (b) The linearization $L(x)$ to $f$ at $a = \pi$ is $(x) = f(\pi) + f'(\pi)(x-\pi)$ L. We calculated $f'(x)$ in part (a) and so $f'(\pi) = -3\sin(\pi) - 2\cos(\pi) = 2$ . We also have $f(\pi) = 3\cos(\pi) - 2\sin(\pi) + 6 = 3$ . Hence $L(x) = 3+2(x-\pi)$ . (c) A differentiable function $f$ is increasing at $x=a$ if and only if $f'(a) > 0$ and decreasing if and only if $f'(a) < 0$ . Now $f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -3\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - 2\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = -3$ , so $f$ is decreasing at $a = \frac{\pi}{2}$ . (d) If a curve defined by a function $f$ is concave up at $x=a$ , then the tangent line to $f$ at $x=a$ lies below the curve and if the graph of $f$ is concave down at $x=a$ , then the tangent line to $f$ at $x=a$ lies above the curve. The concavity of a curve is determined by the second derivative and $f''(x) = -3\cos(x)+2\sin(x)$ . Since $f''\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -3\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) + 2\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -2\,,$ the graph of $f$ is concave down at $a = \frac{3\pi}{2}$ and the tangent line to $f$ lies above the curve at this point.

한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 2.2절 · 4번우리말 번역

$V(t) = 24 \cdot 1.07^t + 6 \sin(t)$ 가 $t$ 년도의 어떤 사람의 투자 포트폴리오 가치(단위: 천 달러)를 나타낸다고 하자. 여기서 $t = 0$ 은 2010년 1월 1일에 해당한다.

(a) 2012년 1월 1일에 포트폴리오의 가치는 순간적으로 어떤 비율로 변하고 있습니까? 답에 단위를 포함하세요. (b) $V''(2)$ 의 값을 구하세요. 이 양의 단위는 무엇이며, 이것은 포트폴리오의 가치가 어떻게 변하고 있는지에 대해 무엇을 알려 줍니까? (c) 구간 $0 \le t \le 20$ 에서 함수 $V(t) = 24 \cdot 1.07^t + 6 \sin(t)$ 의 그래프를 그리고, 문제의 상황에 맞게 그 변화 양상을 설명하세요. 그런 다음 함수 $A(t) = 24 \cdot 1.07^t$ 와 $V(t) = 24 \cdot 1.07^t + 6 \sin(t)$ 의 그래프, 그리고 그 도함수 $A'(t)$ 와 $V'(t)$ 의 그래프를 비교하세요. 항 $6 \sin(t)$ 는 함수 $V(t)$ 의 변화 양상에 어떤 영향을 줍니까?

다 풀었으면 정답 확인

(a) 2012년 1월 1일은 $t = 2$ 인 순간에 해당하므로 $V'(2)$ 를 계산한다. 먼저 합의 법칙과 상수배 법칙에 의해 $V'(t) = 24 \cdot 1.07^t \cdot \ln(1.07) + 6 \cos(t)$ 임을 알 수 있다. 따라서 $V'(2) = 24 \cdot 1.07^2 \cdot \ln(1.07) + 6 \cos(2) \approx -0.63778$ 이다. $V$ 는 천 달러 단위로, $t$ 는 년 단위로 측정되므로, 2012년 1월 1일에 포트폴리오의 가치는 1년당 $637.78$ 달러의 비율로 감소하고 있음을 알 수 있다. (b) $V'(t) = 24 \cdot 1.07^t \cdot \ln(1.07) + 6 \cos(t)$ 이므로 $V''(t) = 24 \cdot 1.07^t \cdot (\ln(1.07))^2 - 6 \sin(t)$ 이고, 따라서 $V''(2) = 24 \cdot 1.07^2 \cdot \ln(1.07)^2 - 6 \sin(2) \approx -5.33$ 이며 단위는 “천 달러/년/년”이다. 이는 $t = 2$ 인 시점 부근에서 포트폴리오의 가치가 감소하고 있으며 동시에 가치 함수가 위로 볼록임을 뜻한다. 더 구체적으로, $t = 2$ 인 순간에 $V'$ 은 감소하고 있고, 도함수의 값은 다음 1년 동안 약 $5.33$ 천 달러/년만큼 감소할 것으로 예상된다. 다시 말해 포트폴리오의 가치는 감소하고 있을 뿐만 아니라, 해가 지날수록 더 빠르게 감소할 것으로 예상된다. (c) 아래 그림에는 $V$ 와 $A$ 의 그래프와 각각에 대응하는 도함수의 그래프가 나타나 있다. 함수 $A$ 는 순수한 지수함수로서 항상 증가하며 증가하는 비율도 계속 커진다. $A$ 에 항 $6\sin(t)$ 를 더하여 함수 $V$ 를 만들면 포트폴리오 가치에 변동성이 더해진다. 사인함수가 진동하는 성질 때문에 주식 가치뿐만 아니라 그 변화율에도 변동이 생긴다. 또한 시간이 지나 $24 \cdot (1.07)^t$ 의 값이 커질수록 $6 \sin(t)$ 의 영향은 줄어듦을 알 수 있다. A(t) = 24 곱하기 1.07의 t제곱 과 V(t) = 24 곱하기 1.07의 t제곱 + 6 sin(t) 의 그래프, 그리고 그 도함수 A'(t) = 24 ln(1.07) 곱하기 1.07의 t제곱 과 V'(t) = 24 ln(1.07) 곱하기 1.07의 t제곱 + 6 cos(t) 의 그래프.

이 문제로 이어서 풀기

# 삼각함수의 미분계산자동 분류