삼각함수의 미분 연습문제 — Active Calculus · 2.4절 · 10번

Active Calculus · 2.4절 · 10번우리말 번역

$p(z)$ 를 다음 규칙으로 주어진 함수라 하자.

$p(z) = \frac{z\tan(z)}{z^2\sec(z) + 1} + 3 e^z + 1\,.$

(a) $p'(z)$ 를 구하세요. (b) $z = 0$ 인 점에서 $p$ 의 접선의 방정식을 구하세요. (c) $z = 0$ 에서 $p$ 는 증가하는지, 감소하는지, 둘 다 아닌지 판단하세요. 그 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Let $p(z)$ be given by the rule

$p(z) = \frac{z\tan(z)}{z^2\sec(z) + 1} + 3 e^z + 1\,.$

(a) Determine $p'(z)$ . (b) Find an equation for the tangent line to $p$ at the point where $z = 0$ . (c) At $z = 0$ , is $p$ increasing, decreasing, or neither? Why?

정답·풀이 보기

(a) 몫의 미분법, 곱의 미분법, 합의 미분법, 상수배의 미분법을 사용하면 다음을 얻는다. $\begin{aligned}p'(z) &= \frac{d}{dz}\left(\frac{z\tan(z)}{z^2\sec(z) + 1} + 3 e^z + 1\right) \\ &= \frac{d}{dz}\left(\frac{z\tan(z)}{z^2\sec(z) + 1}\right) + \frac{d}{dz} \left(3 e^z \right) + \frac{d}{dz}(1) \\ &= \frac{\left(z^2\sec(z) +1 \right)\frac{d}{dz}\left(z\tan(z)\right) - z\tan(z) \frac{d}{dz}\left(z^2\sec(z) + 1\right)}{\left(z^2\sec(z) + 1\right)^2} +3e^z \\ &= \frac{\left(z^2\sec(z) +1 \right)\left(z\sec^2(z)+\tan(z)\right) - z\tan(z) \left(z^2\sec(z)\tan(z)+2z\sec(z)\right)}{\left(z^2\sec(z) + 1\right)^2} +3e^z\end{aligned}$ (b) $p(0) = 0+3+1 = 4$ 이고 $p'(0) = 0+3=3$ 이므로, $z=0$ 인 점에서 $p$ 의 접선의 방정식은 $y - 4 = 3(x-0)$ 이다. (c) $p'(0) = 3$ 이 양수이므로 $p$ 는 $t=0$ 에서 증가한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) We use the quotient, product, sum, and constant multiple rules to obtain $\begin{aligned}p'(z) &= \frac{d}{dz}\left(\frac{z\tan(z)}{z^2\sec(z) + 1} + 3 e^z + 1\right) \\ &= \frac{d}{dz}\left(\frac{z\tan(z)}{z^2\sec(z) + 1}\right) + \frac{d}{dz} \left(3 e^z \right) + \frac{d}{dz}(1) \\ &= \frac{\left(z^2\sec(z) +1 \right)\frac{d}{dz}\left(z\tan(z)\right) - z\tan(z) \frac{d}{dz}\left(z^2\sec(z) + 1\right)}{\left(z^2\sec(z) + 1\right)^2} +3e^z \\ &= \frac{\left(z^2\sec(z) +1 \right)\left(z\sec^2(z)+\tan(z)\right) - z\tan(z) \left(z^2\sec(z)\tan(z)+2z\sec(z)\right)}{\left(z^2\sec(z) + 1\right)^2} +3e^z\end{aligned}$ (b) We have $p(0) = 0+3+1 = 4$ and $p'(0) = 0+3=3$ , so an equation for the tangent line to $p$ at the point where $z=0$ is $y - 4 = 3(x-0)$ . (c) We found that $p'(0) = 3$ is positive, so $p$ is increasing at $t=0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 2.4절 · 9번우리말 번역

$f(x) = \sin(x) \cot(x)$ 라고 하자.

(a) 곱의 미분법을 이용하여 $f'(x)$ 를 구하세요. (b) 참 또는 거짓: 모든 실수 $x$ 에 대해 $f(x) = \cos(x)$ 이다. (c) (a)에서 구한 함수가 사인함수와 부호가 반대인 함수에 거의 가깝지만 완전히 같지는 않은 이유를 설명하세요. (힌트: (a)의 모든 삼각함수를 사인과 코사인으로 바꾸어 간단히 하세요. $f$ 의 정의역과 $f'$ 의 정의역을 신중하게 생각하세요.)

다 풀었으면 정답 확인

(a) $f(x) = \sin(x) \cot(x)$ 이므로 곱의 미분법에 의해 $f'(x) = \sin(x) \cdot (-\csc^2(x)) + \cot(x) \cdot \cos(x)$ 이다. (b) 거짓이다. $\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$ 이므로 $f(x) = \sin(x) \cdot \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$ 로 쓸 수 있다. 여기서 분자와 분모의 $\sin(x)$ 를 “약분”하고 싶어지기 쉽다. 그러나 분모에 $\sin(x)$ 가 있으므로 $f$ 는 모든 정수 $k$ 에 대해 $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ 에서 정의되지 않는다. 다시 말해 $f$ 의 정의역은 $\frac{\pi}{2}$ 의 홀수 배수를 제외한 모든 실수이다. 따라서 $\frac{\pi}{2}$ 의 홀수 배수를 제외한 모든 실수에 대해서는 $f(x) = \cos(x)$ 라고 할 수 있다. 하지만 $x$ 의 모든 값에 대해 $f(x) = \cos(x)$ 인 것은 아니다. (c) (a)의 결과에서 $\csc(x)$ 와 $\cot(x)$ 를 사인함수와 코사인함수를 포함한 식으로 바꾸면 다음과 같다. $\begin{aligned}f'(x) &= \sin(x) \cdot (-\csc^2(x)) + \cot(x) \cdot \cos(x) \\ &= \sin(x) \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2(x)}\right) + \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \cdot \cos(x)\end{aligned}$ 어떤 정수 $k$ 값에 대해 $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$ 이면 다음이 성립한다. $f'(x) = -\frac{1}{\sin(x)} + \frac{\cos^2(x)}{\sin(x)} = \frac{\cos^2(x)-1}{\sin(x)}\,.$ 삼각함수의 기본 항등식에 의해 $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ 이므로 $\cos^2(x)-1 = -\sin^2(x)$ 이다. 따라서 어떤 정수 $k$ 값에 대해 $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$ 이면 $f'(x) = \frac{-\sin^2(x)}{\sin(x)} = -\sin(x)$ 이다. 이 등식은 어떤 정수 $k$ 값에 대해 $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$ 일 때만 성립한다. 그 이유는 그 $x$ 값들이 원래 함수 $f$ 의 정의역에 속하지 않기 때문이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 삼각함수의 미분계산자동 분류