함수의 그래프 그리기 연습문제 — Active Calculus · 3.4절 · 6번

Active Calculus · 3.4절 · 6번우리말 번역

$p(x) = x^3-ax^2$ ( $a > 0$ )으로 주어진 한 매개변수 함수족을 생각하세요.

(a) 각 함수가 3차 다항식이며 $x = 0$ 에서 중복된 영점을, $x = a$ 에서 또 다른 영점을 갖는다는 사실을 이용하여, 이 함수족의 대표적인 한 함수의 그래프를 그리세요. (b) $p$ 의 모든 임계점을 구하세요. (c) $p''$ 을 구하고 $p''(x) = 0$ 인 모든 값을 구하세요. 이를 바탕으로 $p$ 의 이계도함수 부호표를 만드세요. (d) $a$ 가 변함에 따라 $p$ 의 임계점과 변곡점의 위치가 어떻게 변하는지 설명하세요. 즉, $a$ 의 값이 커지면 임계점과 변곡점은 어떻게 되는지 설명하세요.

영어 원문 보기

Consider the one-parameter family of functions given by $p(x) = x^3-ax^2$ , where $a > 0$ .

(a) Sketch a plot of a typical member of the family, using the fact that each is a cubic polynomial with a repeated zero at $x = 0$ and another zero at $x = a$ . (b) Find all critical numbers of $p$ . (c) Compute $p''$ and find all values for which $p''(x) = 0$ . Hence construct a second derivative sign chart for $p$ . (d) Describe how the location of the critical numbers and the inflection point of $p$ change as $a$ changes. That is, if the value of $a$ is increased, what happens to the critical numbers and inflection point?

정답·풀이 보기

(a) $p(x) = x^3 - ax^2 = x^2(x-a)$ 로 쓰면 $x=0$ 과 $x=a$ 에서 $p(x) = 0$ 임을 알 수 있다. 또 모든 $x$ 에 대해 $x^2 \ge 0$ 이므로, $x < a$ 일 때마다 $p(x) \le 0$ 이고 모든 $x > a$ 에 대해 $p(x) > 0$ 임을 알 수 있다. 이러한 함수의 대표적인 예를 아래에 그렸다. x = 0 에서 중근을 갖고 x = a > 0 에서 단근을 갖는 3차 다항식이다. 이 그래프는 이 문제의 다른 부분에서 언급한 나머지 성질을 모두 반영한다. (b) $p$ 의 임계점을 구하기 위해 먼저 $p'(x)$ 를 구한다. $a$ 를 상수로 보면 $p'(x) = 3x^2 - 2ax = x(3x - 2a)$ 이다. 따라서 $p'(x) = 0$ 으로 놓으면 $x(3x-2a) = 0$ 이므로 $x = 0$ 과 $x = \frac{2a}{3}$ 가 $p$ 의 임계점이다. (c) $p''(x) = 6x - 2a$ 이므로 $p''(x) = 0$ 에서 $x = \frac{a}{3}$ 이다. $p''(x)$ 는 기울기가 양인 일차함수이므로 $x = \frac{a}{3}$ 에서 $p''(x)$ 의 부호가 음에서 양으로 바뀐다. 따라서 $p$ 는 $x < \frac{a}{3}$ 에서 위로 볼록, $x > \frac{a}{3}$ 에서 아래로 볼록이며, $x = \frac{a}{3}$ 는 $p$ 의 유일한 변곡점이다. (d) $x = 0$ 은 항상 $p$ 의 임계점이다. 그러나 $x = \frac{2a}{3}$ 에 있는 다른 임계점과 $x = \frac{a}{3}$ 에 있는 변곡점은 모두 $a$ 에 직접 의존함이 분명하다. $a$ 의 값을 키우면 이 임계점과 변곡점의 위치가 모두 $a$ 와 함께 오른쪽으로 이동한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Writing $p(x) = x^3 - ax^2 = x^2(x-a)$ , we see that $p(x) = 0$ at $x=0$ and $x=a$ . Further, since $x^2 \ge 0$ for all $x$ , we note that $p(x) \le 0$ whenever $x < a$ and $p(x) > 0$ for all $x > a$ . A typical such function is plotted below. A cubic polynomial with a repeated root at x = 0 and a single root at x = a gt 0. The graph reflects all of the other properties noted in the other parts of this exercise. (b) To find the critical numbers of $p$ , we first compute $p'(x)$ . Treating $a$ as constant, we have $p'(x) = 3x^2 - 2ax = x(3x - 2a)$ . Thus, setting $p'(x) = 0$ , we find that $x(3x-2a) = 0$ and thus $x = 0$ and $x = \frac{2a}{3}$ are the critical numbers of $p$ . (c) Observe that $p''(x) = 6x - 2a$ and thus $p''(x) = 0$ implies that $x = \frac{a}{3}$ . Since $p''(x)$ is linear with positive slope, we see that $p''(x)$ changes sign from negative to positive at $x = \frac{a}{3}$ , and thus $p$ is concave down for $x < \frac{a}{3}$ and concave up for $x > \frac{a}{3}$ and $x = \frac{a}{3}$ is the only inflection point of $p$ . (d) There is always a critical number of $p$ at $x = 0$ . But the other critical number at $x = \frac{2a}{3}$ and the inflection point at $x = \frac{a}{3}$ both obviously depend directly on $a$ : as we increase the value of $a$ , both the location of the critical number and the inflection point move to the right along with $a$ .

한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 3.4절 · 7번우리말 번역

$q(x) = \frac{e^{-x}}{x-c}$ 를 $c > 0$ 인 매개변수 하나를 가진 함수족이라고 하자.

(a) $q$ 가 $x = c$ 에서 수직 점근선을 갖는 이유를 설명하세요. (b) $\lim_{x \to \infty} q(x)$ 와 $\lim_{x \to -\infty} q(x)$ 를 구하세요. (c) $q'(x)$ 를 구하고, $q$ 의 모든 임계수를 구하세요. (d) $q$ 의 일계도함수 부호표를 만들고, 각 임계수가 함수 $q$ 의 극솟값, 극댓값, 또는 둘 다 아닌 것 중 어느 것으로 이어지는지 판단하세요. (e) 이 함수족의 대표적인 함수 하나의 그래프를 중요한 성질을 분명히 표시하여 그리세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) $x=c$ 에서 분자의 값은 $e^{-c} \ne 0$ 이고, 분모의 값은 $x=c$ 에서 $0$ 이다. 따라서 $\lim_{x \to c^+} \frac{e^{-x}}{x-c} = \infty$ 이고 $\lim_{x \to c^-} \frac{e^{-x}}{x-c} = -\infty$ 이다. 그러므로 직선 $x=c$ 는 $q$ 의 수직 점근선이다. (b) $q(x)$ 를 $q(x) = \frac{1}{(x-c)e^x}$ 로 쓸 수 있으므로, $x \to \infty$ 일 때 분모가 한없이 커짐을 알 수 있다. 따라서 $\lim_{x \to \infty} \frac{e^{-x}}{x-c} = 0$ 이다. 그러므로 직선 $y=0$ 은 $q$ 의 수평 점근선이다. $x \to -\infty$ 일 때 $e^{-x}$ 는 한없이 커지고 $(x-c)$ 는 한없이 작아진다. 따라서 $x \to -infty$ 일 때 $q$ 는 부정형이다. 로피탈의 법칙을 적용하면 다음을 얻는다. $\lim_{x \to -\infty} \frac{e^{-x}}{x-c} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-e^{-x}}{1} = -\infty\,.$ (c) $q(x) = \frac{1}{(x-c)e^x}$ 를 이용하여 몫의 미분법과 곱의 미분법을 쓰고 식을 정리하면 다음과 같다. $q'(x) = -\frac{(x-c)e^x + e^x}{(x-c)^2\left(e^x\right)^2} = -\frac{x-c+1}{(x-c)^2e^x}\,.$ 함수 $q$ 의 임계점은 정의역 안에서 $q'(x) = 0$ 이거나 $q'(x)$ 가 존재하지 않는 곳에 있다. $q'(x)$ 는 $x=c$ 에서 정의되지 않지만, $c$ 는 mq의 정의역에 속하지 않는다. 따라서 $q$ 의 임계점은 $q'(x)=0$ 일 때만 생긴다. 분수 $q'(x)$ 가 $0$ 이 되는 경우는 분자가 $0$ 일 때뿐이다. $x-c+1=0$ 이 되는 것은 $x=c-1$ 일 때이므로, $q$ 의 임계수는 $x=c-1$ 하나뿐이다. (d) 지수함수 $e^x$ 와 이차식 $(x-c)^2$ 의 값은 $x \neq c$ 일 때 양수이므로, $q'(x) = -\frac{x-c+1}{(x-c)^2e^x}$ 의 부호는 전적으로 $x-(c-1)$ 의 부호에 달려 있다. $x < c-1$ 일 때 $q'(x) > 0$ 이고 $x > c-1$ 일 때 $q'(x) < 0$ 이다. 따라서 $q$ 는 $(-\infty, c-1)$ 에서 증가하고 $(c-1,c)$ 에서 감소하므로, $q(c-1)$ 은 극댓값이다. (b)에서 보인 것처럼 $q$ 의 값은 얼마든지 크게 만들 수 있으므로, 이 값은 극댓값이다. (e) $q(x) = \frac{1}{(x-c)e^x}$ 로 주어진 함수족의 대표적인 함수는 $x = c$ 에서 수직 점근선을 갖고, $c$ 의 왼쪽으로 1만큼 떨어진 $x = c-1$ 에서 극댓값을 갖는 임계수가 있음을 보였다. 대표적인 그래프는 아래와 같다. $q$ 가 (d)에서 구한 대로 증가하고 감소하는 모습에 주목하자. x = c > 0 에서 수직 점근선을 갖는 함수의 그래프이다. x > c 일 때 함수는 감소하고 위로 볼록하며 수평 점근선 y = 0 에 가까워진다. x < c 일 때 함수는 항상

이 문제로 이어서 풀기

# 함수의 그래프 그리기그래프·표 해석자동 분류