정적분과 급수(구분구적법) 연습문제 — Active Calculus · 4.2절 · 10번

Active Calculus · 4.2절 · 10번우리말 번역

직선 도로를 달리는 자동차가 브레이크를 밟고 있으며, 여러 시각에서 자동차의 속도를 측정하여 다음 표와 같은 값을 얻었습니다.

브레이크를 밟는 자동차의 자료

시간(초), $t$	$0$	$0.3$	$0.6$	$0.9$	$1.2$	$1.5$	$1.8$
속도(ft/sec), $v(t)$	$100$	$88$	$74$	$59$	$40$	$19$	$0$

(a) 가로축을 시간, 세로축을 속도로 하여 주어진 자료를 좌표평면에 나타내세요. (b) 3개의 부분구간으로 나눈 중점 리만 합을 사용하여, 자동차가 브레이크를 밟는 동안 이동한 총 거리를 어림하세요. (c) $L_6$ , $R_6$ , $\frac{1}{2}(L_6 + R_6)$ 을 계산하여 $[0,1.8]$ 에서 이동한 총 거리를 어림하세요. (d) $v(t)$ 가 $[0,1.8]$ 에서 항상 감소한다고 가정할 때, 자동차가 멈추기 전까지 이동했을 수 있는 최대 거리는 얼마입니까? 그 이유는 무엇입니까?

영어 원문 보기

A car traveling along a straight road is braking and its velocity is measured at several different points in time, as given in the following table.

Data for the braking car.

seconds, $t$	$0$	$0.3$	$0.6$	$0.9$	$1.2$	$1.5$	$1.8$
Velocity in ft/sec, $v(t)$	$100$	$88$	$74$	$59$	$40$	$19$	$0$

(a) Plot the given data on a set of axes with time on the horizontal axis and the velocity on the vertical axis. (b) Estimate the total distance traveled during the car the time brakes using a middle Riemann sum with 3 subintervals. (c) Estimate the total distance traveled on $[0,1.8]$ by computing $L_6$ , $R_6$ , and $\frac{1}{2}(L_6 + R_6)$ . (d) Assuming that $v(t)$ is always decreasing on $[0,1.8]$ , what is the maximum possible distance the car traveled before it stopped? Why?

정답·풀이 보기

(a) 주어진 자료를 그래프로 나타내면 아래 그림과 같다. 이 이미지에 대체 텍스트를 추가하세요. (b) 주어진 자료로 $M_3$ 을 구하면, 중점은 $\overline{x_1} = 0.3$ , $\overline{x_2} = 0.9$ , $\overline{x_3} = 1.5$ 이고 $\triangle t = 0.6$ 이므로 $M_3 = f(0.3) \cdot 0.6 + f(0.9) \cdot 0.6 + f(1.5) \cdot 0.6 = 166 \cdot 0.6 = 99.6\,.$ 따라서 자동차는 브레이크를 밟는 $1.8$ 초 동안 약 $99.6$ 피트를 이동한다. (c) 기본 공식을 사용하면 $L_6 = f(0) \cdot 0.3 + f(0.3) \cdot 0.3 + \cdots + f(1.5) \cdot 0.3 = 380 \cdot 0.3 = 114$ 이고 $R_6 = f(0.3) \cdot 0.3 + f(0.6) \cdot 0.3 + \cdots + f(1.8) \cdot 0.3 = 280 \cdot 0.3 = 84\,.$ 이므로 $\frac{1}{2}(L_6 + R_6) = \frac{114+84}{2} = 99\,.$ 이 세 값은 각각 이동한 총 거리의 어림값이며, $L_6$ 은 과대추정이고 $R_6$ 은 과소추정이다. (d) 자동차가 멈추기 전까지 이동했을 수 있는 최대 거리는 $114$ 피트이다. 이는 함수가 구간에서 감소하는 경우 $L_n$ 은 항상 과대추정이기 때문이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) A plot of the given data is shown in the figure below. ADD ALT TEXT TO THIS IMAGE (b) For $M_3$ with the given data, the midpoints are $\overline{x_1} = 0.3$ , $\overline{x_2} = 0.9$ , and $\overline{x_3} = 1.5$ , and $\triangle t = 0.6$ , so $M_3 = f(0.3) \cdot 0.6 + f(0.9) \cdot 0.6 + f(1.5) \cdot 0.6 = 166 \cdot 0.6 = 99.6\,.$ Therefore, the car travels approximately $99.6$ feet over the $1.8$ second interval it brakes. (c) Using the standard formulas, $L_6 = f(0) \cdot 0.3 + f(0.3) \cdot 0.3 + \cdots + f(1.5) \cdot 0.3 = 380 \cdot 0.3 = 114$ and $R_6 = f(0.3) \cdot 0.3 + f(0.6) \cdot 0.3 + \cdots + f(1.8) \cdot 0.3 = 280 \cdot 0.3 = 84\,.$ Thus, $\frac{1}{2}(L_6 + R_6) = \frac{114+84}{2} = 99\,.$ Each of these three quantities is an estimate of the total distance traveled: $L_6$ is an overestimate and $R_6$ is an underestimate. (d) The maximum possible distance the car traveled before it stopped is $114$ feet. This is because $L_n$ is always an overestimate when the function is decreasinging on the interval.

한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 4.2절 · 9번우리말 번역

$S$ 를 다음과 같은 합이라고 하자.

$S = ((1.4)^2 + 1) \cdot 0.4 + ((1.8)^2 + 1) \cdot 0.4 + ((2.2)^2 + 1) \cdot 0.4 + ((2.6)^2 + 1) \cdot 0.4 +((3.0)^2 + 1) \cdot 0.4\,.$

(a) $S$ 가 오른쪽 리만 합이라고 가정하세요. $S$ 가 어떤 함수 $f$ 와 어떤 구간 $[a,b]$ 에 대한 이 함수의 리만 합인지 구하고, 그 이유를 설명하세요. (b) $S$ 가 왼쪽 리만 합이라면 (a)의 답은 어떻게 달라지는지 설명하세요. 중점 리만 합이라면 어떻게 달라지는지 설명하세요. (c) $S$ 가 정말로 오른쪽 리만 합이라고 하세요. $S$ 는 어떤 기하학적 양을 근사하는지 구하세요. (d) 시그마 기호를 사용하여, 같은 함수에 대한 오른쪽 리만 합이면서 $S$ 보다 부분구간의 개수가 두 배인 새로운 합 $R$ 을 나타내세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 함수는 $x_1 = 1.4$ , $x_2 = 1.8$ , $x_3 = 2.2$ , $x_4 = 2.6$ , $x_5 = 3.0$ 에서 계산되고 있다. 따라서 이것이 오른쪽 리만 합이므로 부분구간은 $5$ 개이고 $\triangle x = 0.4$ 이며 $x_0 = 1.0$ 이다. 이 규칙으로부터 함수는 구간 $[1,3]$ 에서 $f(x) = x^2 + 1$ 이어야 함을 알 수 있다. (b) 대신 $S$ 가 왼쪽 리만 합이라면 $x_i$ 들이 왼쪽으로 이동하여 $x_0 = 1.4$ , $x_1 = 1.8$ , $\ldots$ , $x_5 = 3.4$ 가 된다. 이 경우 함수는 같지만 구간은 $[1.4, 3.4]$ 이다. $S$ 가 중점 리만 합이라면, 예를 들어 $1.4$ 는 길이가 $\triangle x = 0.4$ 인 구간의 중점이므로 $x_0 = 1.2$ , $x_1 = 1.6$ 이다. 이 규칙을 계속 적용하면 함수 $f(x) = x^2 + 1$ 을 구간 $[1.2, 3.2]$ 에서 생각하게 된다. (c) $S$ 는 $[1,3]$ 에서 $f(x) = x^2 + 1$ 의 그래프 아래쪽에 놓인 넓이를 근사한 값이다. (d) 부분구간을 두 배로 하려면 $\triangle x = 0.2$ 로 바꾸므로 $x_1 = 1.2$ , $x_2 = 1.4$ , …이고, 일반적인 오른쪽 끝점은 $x_i = 1 + 0.2 \cdot i$ 이다. 또한 $n = 10$ 이므로 $R_{10} = \sum_{i=1}^{10} \left( (1+0.2i)^2 + 1 \right) \cdot 0.2\,.$

이 문제로 이어서 풀기

# 정적분과 급수(구분구적법)그래프·표 해석자동 분류