치환적분법 연습문제 — Active Calculus · 5.3절 · 13번

Active Calculus · 5.3절 · 13번우리말 번역

부정적분 $\int \sin^3(x) \, dx$ 를 생각하세요.

(a) 치환 $u = \sin(x)$ 가 주어진 적분의 값을 구하는 데 도움이 되지 않는 이유를 설명하세요. (b) 기본 삼각함수 항등식 $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ 을 떠올려 보세요. $\sin^3(x) = \sin(x) \cdot \sin^2(x)$ 임을 관찰하여, 기본 삼각함수 항등식을 이용해 피적분함수를 $\sin(x)$ 와 또 다른 함수의 곱으로 다시 쓰세요. (c) 치환 $u = \cos(x)$ 가 (b)의 적분의 값을 구하는 데 이제 가능한 방법이 되는 이유를 설명하세요. (d) (a)~(c)의 풀이 과정을 이용하여 부정적분 $\int \sin^3(x) \, dx$ 의 값을 구하세요. (e) 비슷한 방법을 이용하여 $\int \cos^3(x) \, dx$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Consider the indefinite integral $\int \sin^3(x) \, dx$ .

(a) Explain why the substitution $u = \sin(x)$ will not work to help evaluate the given integral. (b) Recall the Fundamental Trigonometric Identity, which states that $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ . By observing that $\sin^3(x) = \sin(x) \cdot \sin^2(x)$ , use the Fundamental Trigonometric Identity to rewrite the integrand as the product of $\sin(x)$ with another function. (c) Explain why the substitution $u = \cos(x)$ now provides a possible way to evaluate the integral in (b). (d) Use your work in (a)-(c) to evaluate the indefinite integral $\int \sin^3(x) \, dx$ . (e) Use a similar approach to evaluate $\int \cos^3(x) \, dx$ .

정답·풀이 보기

(a) $u = \sin(x)$ 라 하면 $du = \cos(x) \, dx$ 이다. 피적분함수에 코사인 함수가 없으므로, 적분을 값을 구할 수 있는 꼴로 바꾸는 데 필요한 함수와 그 도함수의 쌍이 존재하지 않는다. (b) 기본 삼각함수 항등식에서 $\sin^2(x) = 1-\cos^2(x)$ 이므로 $\sin^3(x) = \sin(x) \cdot \sin^2(x) = \sin(x) (1-\cos^2(x))\,.$ (c) (b)에서 $\int \sin^3(x) \, dx = \int \sin(x) (1-\cos^2(x)) \, dx$ 이고, 이 적분에는 $u = \cos(x)$ , $du = -\sin(x) \, dx$ 에 대응하는 함수와 그 도함수의 쌍이 있다. (d) 이 치환을 이용하여 얻은 적분의 값을 구하면 $\begin{aligned}\int \sin^3(x) \, dx &= \int \sin(x) (1-\cos^2(x)) \, dx \\ &= \int (-1)(1-u^2) \, du \\ &= \int (u^2-1) \, du \\ &= \frac{1}{3}u^3 - u + C \\ &= \frac{1}{3}\cos^3(x) - \cos(x) + C\end{aligned}\,.$ (e) $\cos^3(x) = \cos(x) \cdot \cos^2(x) = \cos(x) (1-\sin^2(x))$ 이므로, $u = \sin(x)$ , 즉 $du = \cos(x) \, dx$ 로 놓으면 $\begin{aligned}\int \cos^3(x) \, dx &= \int \cos(x) (1-\sin^2(x)) \, dx \\ &= \int (1-u^2) \, du \\ &= u - \frac{1}{3}u^3 + C \\ &= \sin(x) - \frac{1}{3}\sin^3(x) + C\end{aligned}\,.$

원본 교재 풀이(영어)

(a) If we let $u = \sin(x)$ , then $du = \cos(x) \, dx$ . Since there is no cosine function present in the integrand, we don't have the needed function-derivative pair present in order to transform the integral into one we can evaluate. (b) Using the Fundamental Trigonometric Identity, we observe that $\sin^2(x) = 1-\cos^2(x)$ , and thus $\sin^3(x) = \sin(x) \cdot \sin^2(x) = \sin(x) (1-\cos^2(x))\,.$ (c) By our work in (b), we see that $\int \sin^3(x) \, dx = \int \sin(x) (1-\cos^2(x)) \, dx$ , and in this integral we have the function-derivative pair that corresponds to $u = \cos(x)$ and $du = -\sin(x) \, dx$ . (d) Using this substitution and evaluating the resulting integral, $\begin{aligned}\int \sin^3(x) \, dx &= \int \sin(x) (1-\cos^2(x)) \, dx \\ &= \int (-1)(1-u^2) \, du \\ &= \int (u^2-1) \, du \\ &= \frac{1}{3}u^3 - u + C \\ &= \frac{1}{3}\cos^3(x) - \cos(x) + C\end{aligned}\,.$ (e) Here we observe that $\cos^3(x) = \cos(x) \cdot \cos^2(x) = \cos(x) (1-\sin^2(x))$ , so letting $u = \sin(x)$ and thus $du = \cos(x) \, dx$ , we have $\begin{aligned}\int \cos^3(x) \, dx &= \int \cos(x) (1-\sin^2(x)) \, dx \\ &= \int (1-u^2) \, du \\ &= u - \frac{1}{3}u^3 + C \\ &= \sin(x) - \frac{1}{3}\sin^3(x) + C\end{aligned}\,.$

한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 5.3절 · 11번우리말 번역

이 문제는 $\sin(x)$ 와 $\cos(x)$ 를 제외한 기본 삼각함수의 부정적분을 구하는 것을 중심으로 한다.

(a) 부정적분 $\int \tan(x) \, dx$ 를 생각하세요. 피적분함수를 $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ 로 고쳐 쓰고, 알맞은 함수와 그 도함수의 쌍을 찾아 $u$ 로 치환하여 $\int \tan(x) \, dx$ 의 값을 구하세요. (b) 같은 방법으로 $\int \cot(x) \, dx$ 의 값을 구하세요. (c) 부정적분 $\int \frac{\sec^2(x) + \sec(x) \tan(x)}{\sec(x) + \tan(x)} \, dx\,$ 을 생각하세요. 치환 $u = \sec(x) + \tan(x)$ 를 이용하여 이 적분의 값을 구하세요. (d) (c)의 피적분함수의 분자를 인수분해하여 간단히 하세요. 피적분함수를 훨씬 더 간단하게 나타내는 방법은 무엇인가요? (e) (c)와 (d)의 결과를 합하여 $\int \sec(x) \, dx$ 를 구하세요. (f) (c)~(e)를 참고하여 $\int \csc(x) \, dx$ 의 값을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) $u = \cos(x)$ 로 놓으면 $du = -\sin(x) \ dx$ 이다. 이 변수 변환으로 적분을 다음과 같이 계산할 수 있는 꼴로 바꿀 수 있다. $\begin{aligned}\int \tan(x) \, dx &= \int \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \ dx \\ &= -\int \frac{1}{u} \ du \\ &= -\ln(|u|) + C \\ &= -\ln(|\cos(x)| + C \\ &= \ln\left(|\cos(x)|^{-1}\right) + C \\ &= \ln\left(|\sec(x)|\right) + C\end{aligned}\,.$ 결과를 간단히 하기 위해 로그의 성질 $p \ln (z) = \ln(z^p)$ 과 $\frac{1}{\cos(x)} = \sec(x)$ 임을 이용했다. (b) $u = \sin(x)$ 로 놓으면 $du = \cos(x) \ dx$ 이다. 이 변수 변환으로 적분을 다음과 같이 계산할 수 있는 꼴로 바꿀 수 있다. $\begin{aligned}\int \cot(x) \, dx &= \int \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \ dx \\ &= \int \frac{1}{u} \ du \\ &= \ln(|u|) + C \\ &= \ln(|\sin(x)| + C \\ &= -\ln\left(|\sin(x)|^{-1}\right) + C \\ &= -\ln\left(|\csc(x)|\right) + C\end{aligned}\,.$ 여기서는 결과를 간단히 하기 위해 $\ln(z) = (-1)(-1)\ln(z) = (-1) \ln(z^{-1})$ 임을 이용했다. (c) $u = \sec(x) + \tan(x)$ 로 놓으면 $du = \left(\sec(x)\tan(x)+\sec^2(x)\right) \ dx$ 이다. 이 변수 변환으로 피적분함수의 기본 구조가 단순해지며 다음과 같이 적분할 수 있다. $\begin{aligned}\int \frac{\sec^2(x) + \sec(x) \tan(x)}{\sec(x) + \tan(x)} \, dx &= \int \frac{1}{u} \ du \\ &= \ln(|u|) + C \\ &= \ln\left(|\sec(x) + \tan(x)|\right) + C\end{aligned}\,.$ (d) $\frac{\sec^2(x) + \sec(x) \tan(x)}{\sec(x) + \tan(x)}$ 의 분자에서 공통인수 $\sec(x)$ 를 묶어 내면 $\sec(x)\left(\sec(x) + \tan(x)\right)$ 로 고쳐 쓸 수 있다. 그러면 피적분함수는 다음과 같이 간단해진다. $\frac{\sec^2(x) + \sec(x) \tan(x)}{\sec(x) + \tan(x)} = \frac{\sec(x)\left(\sec(x) + \tan(x)\right)}{\sec(x) + \tan(x)} = \sec(x)\,.$ (e) (c)와 (d)의 결과로부터 다음을 얻는다. $\int \sec(x) \, dx = \int \frac{\sec^2(x) + \sec(x) \tan(x)}{\sec(x) + \tan(x)} \, dx = \ln\left(|\sec(x) + \tan(x)|\right) + C\,.$ (f) (c)~(e)와 같은 방법으로 $int \csc(x) \, dx$ 를 다음과 같이 구할 수 있다. 먼저 $\csc(x)$ 에 $1 = \frac{\csc(x) + \cot(x)}{\csc(x) + \cot(x)}$ 을 곱하여 고쳐 쓰면 $\int \csc(x) \, dx = \int \frac{\csc(x)\left(\csc(x) + \cot(x)\right)}{\csc(x) + \cot(x)} \, dx = \int \frac{\csc^2(x) + \csc(x) \cot(x)}{\csc(x) + \cot(x)} \, dx\,$ 이다. 이제 위 식의 마지막 적분을 치환 $u = \csc(x) + \cot(x)$ 로 계산한다. 그러면 $du = -\left(\csc(x)\cot(x)+\csc^2(x)\right) \ dx$ 이다. 이 변수 변환으로 적분을 다음과 같이 계산할 수 있는 꼴로 바꿀 수 있다. $\begin{aligned}\int \frac{\csc^2(x) + \csc(x) \cot(x)}{\csc(x) + \cot(x)} \, dx &= - \int \frac{1}{u} \ dx \\ &= -\ln(|u|) + C \\ &= -\ln\left(|\csc(x) + \cot(x)|\right) + C\end{aligned}\,.$ 지금까지 구한 등식들을 이어 보면 다음이 성립함을 보인 것이다. $\int \csc(x) \, dx = -\ln\left(|\csc(x) + \cot(x)|\right) + C\,.$

이 문제로 이어서 풀기

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