치환적분법 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.OpenStax 1권 · 5.5절 · 12번우리말 풀이

다음 문제에서 주어진 치환을 써서 부정적분을 구하세요.

$\int \frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}dx;u={x}^{2}+1$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the antiderivative using the indicated substitution.

$\int \frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}dx;u={x}^{2}+1$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

풀이 보기

$u=x^2+1$ 이면 $du=2x\,dx$ 이므로 분자의 $x\,dx$ 가 $\frac12du$ 로 바뀌어요.

1
왜 이렇게 할까요? 분모 안의 식 $x^2+1$ 을 $u$ 로 놓으면 그 도함수 $2x$ 가 분자에 (상수배로) 들어 있어서 식이 간단해져요.
2
$du$ 를 구해요. $u=x^2+1$ 의 양변을 미분하면 $du=2x\,dx$ , 즉 $x\,dx=\frac12du$ 예요.
3
치환해서 적분해요. $\int\frac{x\,dx}{\sqrt{x^2+1}}=\frac12\int u^{-1/2}du=\frac12\cdot 2u^{1/2}+C=\sqrt{u}+C$
4
$x$ 로 되돌려요. $u=x^2+1$ 을 다시 넣으면 $\sqrt{x^2+1}+C$ 예요.

답

$\sqrt{x^2+1}+C$

자주 하는 실수

$du=2x\,dx$ 에서 $\frac12$ 을 빼먹거나, 마지막에 $u$ 를 $x$ 로 되돌리지 않아요.

원본 교재 풀이(영어)

$\sqrt{{x}^{2}+1}+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 50번

# 치환적분법계산기본

2.OpenStax 1권 · 5.5절 · 28번우리말 풀이

다음 문제에서 알맞게 변수를 바꾸어 부정적분을 구하세요.

$\int \frac{{x}^{2}}{{({x}^{3}-3)}^{2}}dx$

영어 원문 보기

In the following exercises, use a suitable change of variables to determine the indefinite integral.

$\int \frac{{x}^{2}}{{({x}^{3}-3)}^{2}}dx$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

풀이 보기

분모 속 $x^3-3$ 을 $u$ 로 놓으면 $du=3x^2dx$ 이고, 분자의 $x^2dx$ 가 $\frac13du$ 가 돼요.

1
왜 이렇게 할까요? 분모 괄호 안의 식 $x^3-3$ 의 도함수 $3x^2$ 이 분자의 $x^2$ 과 상수배 차이만 있어서, 치환하면 깔끔해져요.
2
치환해요. $u=x^3-3$ 으로 놓으면 $du=3x^2dx$ , 즉 $x^2dx=\frac13du$ 예요.
3
적분해요. $\int\frac{x^2dx}{(x^3-3)^2}=\frac13\int u^{-2}du=\frac13\cdot\left(-\frac1u\right)+C=-\frac{1}{3u}+C$
4
$x$ 로 되돌려요. $-\frac{1}{3(x^3-3)}+C$

답

$-\dfrac{1}{3(x^3-3)}+C$

자주 하는 실수

$\int u^{-2}du$ 를 $\frac{u^{-1}}{-1}$ 로 계산할 때 음수 부호를 빼먹어요.

원본 교재 풀이(영어)

$-\frac{1}{3({x}^{3}-3)}+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 12번

# 치환적분법계산보통

3.OpenStax 1권 · 5.5절 · 44번우리말 풀이

다음 문제에서 변수를 바꾸어 정적분의 값을 구하세요.

${\int }_{0}^{\pi /4}\frac{\sin \theta }{{\cos }^{4}\theta }d\theta$

영어 원문 보기

In the following exercises, use a change of variables to evaluate the definite integral.

${\int }_{0}^{\pi /4}\frac{\sin \theta }{{\cos }^{4}\theta }d\theta$

풀이 보기

$u=\cos\theta$ 로 놓으면 $du=-\sin\theta\,d\theta$ 이고, 정적분에서는 적분 구간도 $u$ 값으로 바꿔요.

1
왜 이렇게 할까요? 분모 $\cos^4\theta$ 의 속함수 $\cos\theta$ 의 도함수가 $-\sin\theta$ 로 분자에 있어요. 그래서 $u=\cos\theta$ 가 알맞아요.
2
치환식과 구간을 바꿔요. $du=-\sin\theta\,d\theta$ 이고, $\theta=0$ 이면 $u=1$ , $\theta=\frac\pi4$ 이면 $u=\frac{1}{\sqrt2}$ 예요.
3
식을 바꿔 적분해요. $\int_0^{\pi/4}\frac{\sin\theta}{\cos^4\theta}d\theta=\int_1^{1/\sqrt2}-u^{-4}du=\int_{1/\sqrt2}^{1}u^{-4}du$ 위끝과 아래끝을 바꾸면서 음수 부호가 사라졌어요.
4
값을 구해요. $\left[-\frac{1}{3u^3}\right]_{1/\sqrt2}^{1}=-\frac13+\frac{(\sqrt2)^3}{3}=\frac{2\sqrt2-1}{3}$

답

$\dfrac{2\sqrt{2}-1}{3}$

자주 하는 실수

정적분에서 구간을 $u$ 로 바꾸지 않고 $\theta$ 의 구간을 그대로 써요.

원본 교재 풀이(영어)

$u=\cos \theta ,du=-\sin \theta d\theta ,{\int }_{1/\sqrt{2}}^{1}{u}^{-4}du=\frac{1}{3}\left(2\sqrt{2}-1\right)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 28번

# 치환적분법계산보통

4.OpenStax 2권 · 3.1절 · 21번우리말 풀이

가장 간단한 방법으로 적분하세요. 모든 문제에 부분적분이 필요한 것은 아니에요.

$\int x{e}^{-{x}^{2}}dx$

영어 원문 보기

Find the integral by using the simplest method. Not all problems require integration by parts.

$\int x{e}^{-{x}^{2}}dx$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

풀이 보기

지수 $-x^2$ 의 도함수 $-2x$ 가 앞의 $x$ 와 상수배 차이이므로, 부분적분 말고 치환적분이 더 간단해요.

1
왜 이렇게 할까요? $x$ 와 $e^{-x^2}$ 의 곱이라 부분적분이 떠오르지만, $e^{-x^2}$ 의 속함수 $-x^2$ 를 미분하면 $-2x$ 로 $x$ 와 닮았어요. 이럴 땐 치환적분이 훨씬 간단해요.
2
치환해요. $u=-x^2$ 으로 놓으면 $du=-2x\,dx$ , 즉 $x\,dx=-\frac12du$ 예요.
3
적분해요. $\int xe^{-x^2}dx=-\frac12\int e^u\,du=-\frac12e^u+C$
4
$x$ 로 되돌려요. $-\frac{e^{-x^2}}{2}+C$ 미분하면 $-\frac12e^{-x^2}\cdot(-2x)=xe^{-x^2}$ 으로 확인돼요.

답

$-\dfrac{e^{-x^2}}{2}+C$

자주 하는 실수

모든 곱의 꼴에 부분적분을 쓰려다 계산이 더 복잡해져요. 속함수의 도함수가 보이면 치환을 먼저 생각해요.

원본 교재 풀이(영어)

$-\frac{{e}^{-{x}^{2}}}{2}+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 44번

# 치환적분법계산기본

5.OpenStax 1권 · 5.5절 · 1번우리말 번역

u-치환을 왜 변수 변환이라고 부를까요?

영어 원문 보기

Why is u-substitution referred to as change of variable?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.1절 · 21번

# 치환적분법계산자동 분류

6.OpenStax 1권 · 5.5절 · 2번우리말 번역

$f=g\circ h$ 일 때, 연쇄 법칙 $\frac{d}{dx}(g\circ h)(x)={g}^{'}(h(x)){h}^{'}(x)$ 를 거꾸로 적용하려면 $u=g(x)$ 와 $u=h(x)$ 중 어느 것으로 놓아야 하나요?

영어 원문 보기

If $f=g\circ h,$ when reversing the chain rule, $\frac{d}{dx}(g\circ h)(x)={g}^{'}(h(x)){h}^{'}(x),$ should you take $u=g(x)$ or $u=h(x)?$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$u=h(x)$

원본 교재 풀이(영어)

$u=h(x)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 6.1절 · 2번

# 치환적분법계산자동 분류

7.OpenStax 1권 · 5.5절 · 3번우리말 번역

다음 문제에서 미분을 이용하여 각 등식이 성립함을 확인하세요. 그런 다음 주어진 u-치환을 이용하여 적분이 $\int f(u)du$ 꼴이 되도록 하는 f 를 구하세요.

$\int x\sqrt{x+1}dx=\frac{2}{15}{(x+1)}^{3/2}(3x-2)+C;u=x+1$

영어 원문 보기

In the following exercises, verify each identity using differentiation. Then, using the indicated u-substitution, identify f such that the integral takes the form $\int f(u)du.$

$\int x\sqrt{x+1}dx=\frac{2}{15}{(x+1)}^{3/2}(3x-2)+C;u=x+1$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 4번

# 치환적분법계산자동 분류

8.OpenStax 1권 · 5.5절 · 4번우리말 번역

다음 연습문제에서 미분을 이용하여 각 항등식이 성립함을 확인하세요. 그런 다음, 주어진 u-치환을 이용하여 적분이 $\int f(u)du$ 꼴이 되도록 하는 f 를 구하세요.

다음에 대해: $x>1:\int \frac{{x}^{2}}{\sqrt{x-1}}dx=\frac{2}{15}\sqrt{x-1}(3{x}^{2}+4x+8)+C;u=x-1$

영어 원문 보기

In the following exercises, verify each identity using differentiation. Then, using the indicated u-substitution, identify f such that the integral takes the form $\int f(u)du.$

For $x>1:\int \frac{{x}^{2}}{\sqrt{x-1}}dx=\frac{2}{15}\sqrt{x-1}(3{x}^{2}+4x+8)+C;u=x-1$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$f(u)=\frac{{(u+1)}^{2}}{\sqrt{u}}$

원본 교재 풀이(영어)

$f(u)=\frac{{(u+1)}^{2}}{\sqrt{u}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 6번

# 치환적분법계산자동 분류

9.OpenStax 1권 · 5.5절 · 5번우리말 번역

다음 연습문제에서 미분을 이용하여 각 등식이 성립함을 확인하세요. 그런 다음, 주어진 u-치환을 이용하여 적분이 $\int f(u)du$ 꼴이 되도록 하는 f 를 구하세요.

$\int x\sqrt{4{x}^{2}+9}dx=\frac{1}{12}{(4{x}^{2}+9)}^{3/2}+C;u=4{x}^{2}+9$

영어 원문 보기

In the following exercises, verify each identity using differentiation. Then, using the indicated u-substitution, identify f such that the integral takes the form $\int f(u)du.$

$\int x\sqrt{4{x}^{2}+9}dx=\frac{1}{12}{(4{x}^{2}+9)}^{3/2}+C;u=4{x}^{2}+9$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 34번

# 치환적분법계산자동 분류

10.OpenStax 1권 · 5.5절 · 6번우리말 번역

다음 연습문제에서 미분을 이용하여 각 등식이 성립함을 확인하세요. 그런 다음, 주어진 u-치환을 이용하여 적분이 $\int f(u)du$ 꼴이 되도록 하는 f 를 구하세요.

$\int \frac{x}{\sqrt{4{x}^{2}+9}}dx=\frac{1}{4}\sqrt{4{x}^{2}+9}+C;u=4{x}^{2}+9$

영어 원문 보기

In the following exercises, verify each identity using differentiation. Then, using the indicated u-substitution, identify f such that the integral takes the form $\int f(u)du.$

$\int \frac{x}{\sqrt{4{x}^{2}+9}}dx=\frac{1}{4}\sqrt{4{x}^{2}+9}+C;u=4{x}^{2}+9$

정답·풀이 보기

$du=8xdx;f(u)=\frac{1}{8\sqrt{u}}$

원본 교재 풀이(영어)

$du=8xdx;f(u)=\frac{1}{8\sqrt{u}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.4절 · 8번

# 치환적분법계산자동 분류

11.OpenStax 1권 · 5.5절 · 7번우리말 번역

다음 연습문제에서 미분을 이용하여 각 등식이 성립함을 확인하세요. 그런 다음, 주어진 u-치환을 이용하여 적분이 $\int f(u)du$ 꼴이 되도록 하는 f 를 구하세요.

$\int \frac{x}{{(4{x}^{2}+9)}^{2}}dx=-\frac{1}{8(4{x}^{2}+9)};u=4{x}^{2}+9$

영어 원문 보기

In the following exercises, verify each identity using differentiation. Then, using the indicated u-substitution, identify f such that the integral takes the form $\int f(u)du.$

$\int \frac{x}{{(4{x}^{2}+9)}^{2}}dx=-\frac{1}{8(4{x}^{2}+9)};u=4{x}^{2}+9$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 42번

# 치환적분법계산자동 분류

12.OpenStax 1권 · 5.5절 · 8번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 치환을 이용하여 부정적분을 구하세요.

$\int {(x+1)}^{4}dx;u=x+1$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the antiderivative using the indicated substitution.

$\int {(x+1)}^{4}dx;u=x+1$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$\frac{1}{5}{(x+1)}^{5}+C$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{1}{5}{(x+1)}^{5}+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.1절 · 21번

# 치환적분법계산자동 분류

13.OpenStax 1권 · 5.5절 · 9번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 치환을 이용하여 부정적분을 구하세요.

$\int {(x-1)}^{5}dx;u=x-1$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the antiderivative using the indicated substitution.

$\int {(x-1)}^{5}dx;u=x-1$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 38번

# 치환적분법계산자동 분류

14.OpenStax 1권 · 5.5절 · 10번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 치환을 이용하여 부정적분을 구하세요.

$\int {(2x-3)}^{-7}dx;u=2x-3$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the antiderivative using the indicated substitution.

$\int {(2x-3)}^{-7}dx;u=2x-3$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$-\frac{1}{12{(2x-3)}^{6}}+C$

원본 교재 풀이(영어)

$-\frac{1}{12{(2x-3)}^{6}}+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.4절 · 2번

# 치환적분법계산자동 분류

15.OpenStax 1권 · 5.5절 · 11번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 치환을 이용하여 부정적분을 구하세요.

$\int {(3x-2)}^{-11}dx;u=3x-2$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the antiderivative using the indicated substitution.

$\int {(3x-2)}^{-11}dx;u=3x-2$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 44번

# 치환적분법계산자동 분류

16.OpenStax 1권 · 5.5절 · 13번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 치환을 이용하여 부정적분을 구하세요.

$\int \frac{x}{\sqrt{1-{x}^{2}}}dx;u=1-{x}^{2}$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the antiderivative using the indicated substitution.

$\int \frac{x}{\sqrt{1-{x}^{2}}}dx;u=1-{x}^{2}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 6번

# 치환적분법계산자동 분류

17.OpenStax 1권 · 5.5절 · 14번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 치환을 이용하여 부정적분을 구하세요.

$\int (x-1){({x}^{2}-2x)}^{3}dx;u={x}^{2}-2x$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the antiderivative using the indicated substitution.

$\int (x-1){({x}^{2}-2x)}^{3}dx;u={x}^{2}-2x$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$\frac{1}{8}{({x}^{2}-2x)}^{4}+C$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{1}{8}{({x}^{2}-2x)}^{4}+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 64번

# 치환적분법계산자동 분류

18.OpenStax 1권 · 5.5절 · 15번우리말 번역

다음 문제에서, 주어진 치환을 이용하여 부정적분을 구하세요.

$\int ({x}^{2}-2x){({x}^{3}-3{x}^{2})}^{2}dx;u={x}^{3}-3{x}^{2}$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the antiderivative using the indicated substitution.

$\int ({x}^{2}-2x){({x}^{3}-3{x}^{2})}^{2}dx;u={x}^{3}-3{x}^{2}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 26번

# 치환적분법계산자동 분류

19.OpenStax 1권 · 5.5절 · 16번우리말 번역

다음 문제에서, 주어진 치환을 이용하여 부정적분을 구하세요.

$\int {\cos }^{3}\theta d\theta ;u=\sin \theta$ $(Hint:\,{\cos }^{2}\theta =1-{\sin }^{2}\theta )$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the antiderivative using the indicated substitution.

$\int {\cos }^{3}\theta d\theta ;u=\sin \theta$ $(Hint:\,{\cos }^{2}\theta =1-{\sin }^{2}\theta )$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$\sin \theta -\frac{{\sin }^{3}\theta }{3}+C$

원본 교재 풀이(영어)

$\sin \theta -\frac{{\sin }^{3}\theta }{3}+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 66번

# 치환적분법계산자동 분류

20.OpenStax 1권 · 5.5절 · 17번우리말 번역

다음 문제에서, 주어진 치환을 이용하여 부정적분을 구하세요.

$\int {\sin }^{3}\theta d\theta ;u=\cos \theta$ $(Hint:\,{\sin }^{2}\theta =1-{\cos }^{2}\theta )$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the antiderivative using the indicated substitution.

$\int {\sin }^{3}\theta d\theta ;u=\cos \theta$ $(Hint:\,{\sin }^{2}\theta =1-{\cos }^{2}\theta )$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 30번

# 치환적분법계산자동 분류