치환적분법 연습문제 — Active Calculus · 5.3절 · 14번

Active Calculus · 5.3절 · 14번우리말 번역

미시간주 매스랜드 마을의 가정용 전력 소비는 최근 몇 년 동안 일정한 경향을 보였습니다. 평균 사용량을 반영한 자료를 바탕으로, 전력 회사의 기술자들은 마을의 에너지 소비율을 다음 함수로 모델링했습니다.

$r(t) = 4 + \sin(0.263t + 4.7) + \cos(0.526t+9.4)\,.$

여기서 $t$ 는 평일 자정 이후 흘러간 시간(시간 단위)이고, $r$ 은 시각 $t$ 에서의 소비율(메가와트 단위)입니다. 이 문제에서는 단위가 매우 중요합니다. 메가와트라는 단위 자체가 단위 시간당 에너지 소비량을 나타내는 비율임에 주의하세요. 메가와트시는 1메가와트의 전력이 1시간 동안 일정하게 유지될 때의 에너지 총량과 같습니다.

(a) 구간 [0,24]에서 $r(t)$ 의 그래프를 각 부분의 이름을 정확히 표시하여 그리고, 그 의미를 설명하세요. 이것이 전력 소비의 타당한 모델인 이유는 무엇입니까? (b) 값을 계산하지 않고, $\int_0^{24} r(t) \, dt$ 의 의미를 설명하세요. 답에 알맞은 단위를 포함하세요. (c) 매스랜드가 평일 하루에 소비하는 에너지의 정확한 양을 구하세요. (d) 임의의 24시간 동안 매스랜드의 평균 전력 소비율은 얼마입니까? 이 양의 단위는 무엇입니까?

영어 원문 보기

For the town of Mathland, MI, residential power consumption has shown certain trends over recent years. Based on data reflecting average usage, engineers at the power company have modeled the town's rate of energy consumption by the function

$r(t) = 4 + \sin(0.263t + 4.7) + \cos(0.526t+9.4)\,.$

Here, $t$ measures time in hours after midnight on a typical weekday, and $r$ is the rate of consumption in megawatts at time $t$ . Units are critical throughout this problem; note that the unit megawatt is itself a rate, which measures energy consumption per unit time. A megawatt-hour is the total amount of energy that is equivalent to a constant stream of 1 megawatt of power being sustained for 1 hour.

(a) Sketch a carefully labeled graph of $r(t)$ on the interval [0,24] and explain its meaning. Why is this a reasonable model of power consumption? (b) Without calculating its value, explain the meaning of $\int_0^{24} r(t) \, dt$ . Include appropriate units on your answer. (c) Determine the exact amount of energy Mathland consumes in a typical day. (d) What is Mathland's average rate of power consumption in a given 24-hour period? What are the units on this quantity?

정답·풀이 보기

(a) 다음 그래프에서, 이 모델은 주기적이며 $24$ 시간마다 반복되는 것으로 보이고, 소비율이 사람들이 집에서 가장 활발하게 활동하는 시간대인 오전 $7$ 시 무렵과 오후 $5$ 시 무렵에 최대가 되는 것으로 보이므로 타당함을 알 수 있다. 구간 -2 < t < 26 에서 r(t) = 4 + sin(0.263t + 4.7) + cos(0.526t+9.4) 의 그래프이다. 함수는 t = 0 과 t = 24 에서 서로 같은 최솟값을 갖고, t ≈ 7 과 t ≈ 17 에서 서로 같은 최댓값을 갖는다. (b) $\int_0^{24} r(t) \, dt$ 의 의미는 $24$ 시간 동안 소비된 전력의 총량이며, 단위는 메가와트시이다. 이는 $r(t)$ 의 단위가 메가와트이고 $\triangle t$ 의 단위가 시간이므로, 정적분에 대응하는 리만 합에서 $r(t) \cdot \triangle t$ 꼴의 항이 “메가와트시”의 단위를 갖기 때문이다. 또한 전력 소비율을 적분하면 소비된 전력의 총 변화량을 얻는다. (c) 평일 하루에 매스랜드는 $\int_0^{24} r(t) \, dt$ 메가와트시의 전력을 소비하므로, 다음 적분의 값을 구해야 한다. $\int_0^{24} r(t) \, dt = \int_0^{24} \left[ 4 + \sin(0.263t + 4.7) + \cos(0.526t+9.4) \right] \, dt\,.$ 이를 위해 $u = 0.263t + 4.7$ ( $du = 0.263 \, dt$ 이므로)과 $w = 0.526t + 9.4$ ( $dw = 0.526 \, dt$ 이므로)로 치환하여 두 삼각함수 식의 부정적분을 구하면 다음과 같다. $\int \sin(0.263t + 4.7) \, dt = \frac{1}{0.263} \int \sin(u) \, du = -\frac{1}{0.263} \cos(u) = -\frac{1}{0.263} \cos(0.263t + 4.7)$ 그리고 $\int \cos(0.526t + 9.4) \, dt = \frac{1}{0.526} \int \cos(w) \, dw = \frac{1}{0.526} \sin(w) = \frac{1}{0.526} \sin(0.526t + 9.4)\,.$ 이를 모두 합하고 미적분의 기본정리를 이용하면 다음을 얻는다. $\begin{aligned}\int_0^{24} r(t) \, dt &= \left. 4t -\frac{1}{0.263} \cos(0.263t + 4.7) + \frac{1}{0.526} \sin(0.526t + 9.4) \right|_0^{24} \\ &= \left[ 4 \cdot 24 -\frac{1}{0.263} \cos(0.263 \cdot 24 + 4.7) + \frac{1}{0.526} \sin(0.526 \cdot 24 + 9.4) \right] - \left[ -\frac{1}{0.263} \cos(4.7) + \frac{1}{0.526} \sin(9.4) \right] \\ &\approx 95.7809\end{aligned}$ 메가와트시의 전력이 $24$ 시간 동안 사용된다. (d) 구간 $[0,24]$ 에서 비율 함수 $r$ 의 평균값은 다음과 같다. $\displaystyle r_{\operatorname{AVG} [0,24]} = \frac{1}{24-0} \int_{0}^{24} r(t) \, dt\,.$ 따라서 (c)의 계산에 의해 다음을 얻는다. $\displaystyle r_{\operatorname{AVG} [0,24]} \approx \frac{1}{24} \cdot 95.7809 = 3.99087$ 이 값의 단위는 메가와트이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) In the following plot, we see that the model is reasonable because it appears to be periodic and repeats every $24$ hours, as well as that the rate of consumption seems to peak at the times of day where people are most active in their homes: around $7$ a.m. and around $5$ p.m. A plot of r(t) = 4 + sin(0.263t + 4.7) + cos(0.526t+9.4) on the interval -2 lt t lt 26. The function has equal global minimums at t = 0 and t = 24, equal global maxnimums at t approx 7 and t approx 17 (b) The meaning of $\int_0^{24} r(t) \, dt$ is the total power consumed in $24$ hours, measured in megawatt-hours. This is because $r(t)$ is measured in megawatts and $\triangle t$ in hours, and thus in the Riemann sum that corresponds to the definite integral, the terms in the sum of the form $r(t) \cdot \triangle t$ have units “megawatt-hours”. Moreover, by integrating the rate of power consumption we get the total change in power consumed. (c) In a typical day, we know that Mathland consumes $\int_0^{24} r(t) \, dt$ megawatt-hours of power, and thus we seek to evaluate the integral $\int_0^{24} r(t) \, dt = \int_0^{24} \left[ 4 + \sin(0.263t + 4.7) + \cos(0.526t+9.4) \right] \, dt\,.$ To do so, we use the subtitutions $u = 0.263t + 4.7$ (so $du = 0.263 \, dt$ ) and $w = 0.526t + 9.4$ (so $dw = 0.526 \, dt$ ) to help us antidifferentiate the two trigonometric expressions, and thus we find that $\int \sin(0.263t + 4.7) \, dt = \frac{1}{0.263} \int \sin(u) \, du = -\frac{1}{0.263} \cos(u) = -\frac{1}{0.263} \cos(0.263t + 4.7)$ and $\int \cos(0.526t + 9.4) \, dt = \frac{1}{0.526} \int \cos(w) \, dw = \frac{1}{0.526} \sin(w) = \frac{1}{0.526} \sin(0.526t + 9.4)\,.$ Putting this all together and using the Fundamental Theorem of Calculus, we have $\begin{aligned}\int_0^{24} r(t) \, dt &= \left. 4t -\frac{1}{0.263} \cos(0.263t + 4.7) + \frac{1}{0.526} \sin(0.526t + 9.4) \right|_0^{24} \\ &= \left[ 4 \cdot 24 -\frac{1}{0.263} \cos(0.263 \cdot 24 + 4.7) + \frac{1}{0.526} \sin(0.526 \cdot 24 + 9.4) \right] - \left[ -\frac{1}{0.263} \cos(4.7) + \frac{1}{0.526} \sin(9.4) \right] \\ &\approx 95.7809\end{aligned}$ megawatt-hours of power used in $24$ hours. (d) We know that the average value of the rate function $r$ on $[0,24]$ is $\displaystyle r_{\operatorname{AVG} [0,24]} = \frac{1}{24-0} \int_{0}^{24} r(t) \, dt\,.$ Thus, by our work in (c), we have that $\displaystyle r_{\operatorname{AVG} [0,24]} \approx \frac{1}{24} \cdot 95.7809 = 3.99087$ which is measured in megawatts.

한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 5.3절 · 12번우리말 번역

부정적분 $\int x \sqrt{x-1} \, dx$ 를 생각하세요.

(a) 얼핏 보면 피적분함수에 $x$ 가 서로 다른 곳에 들어 있어서 이 피적분함수는 치환에 적합하지 않아 보일 수 있습니다. 그럼에도 합성함수 $\sqrt{x-1}$ 을 길잡이로 삼아 $u = x-1$ 로 놓으세요. $x$ 와 $dx$ 를 각각 $u$ 에 관한 식으로 나타내세요. (b) 주어진 $x$ 에 관한 적분을 $u$ 에 관한 새로운 적분으로 바꾸세요. (c) $\sqrt{u} = u^{1/2}$ 임에 주목하고, 이제 곱셈을 전개하여 $u$ 에 관한 피적분함수를 다시 쓸 수 있음을 이용하여 (b)의 적분을 계산하세요. (d) 두 적분 $\int x^2 \sqrt{x-1} \, dx$ 와 $\int x \sqrt{x^2 - 1} \, dx$ 를 각각 계산하세요. 이 문제의 세 부정적분 사이의 공통점과, 각각에서 치환과 식의 대수적 변형이 하는 역할을 한 문단으로 쓰세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) $u = x-1$ 로 놓으면 $x = u+1$ 이고 따라서 $dx = du$ 이다. (b) (a)의 변수변환을 이용하면 $\int x \sqrt{x-1} \, dx = \int (u+1) \sqrt{u} \, du\,.$ (c) $\sqrt{u} = u^{1/2}$ 임을 이용하여 전개하면 적분을 다음과 같이 계산할 수 있다. $\begin{aligned}\int x \sqrt{x-1} \, dx &= \int (u+1) u^{1/2} \, du \\ &= \int \left(u^{3/2} + u^{1/2} \right) \, du \\ &= \frac{2}{5} u^{5/2} + \frac{2}{3} u^{3/2} + C \\ &= \frac{2}{5} (x-1)^{5/2} + \frac{2}{3} (x-1)^{3/2} + C\end{aligned}\,.$ (d) 먼저 $\int x^2 \sqrt{x-1} \, dx$ 에서 $u = x-1$ 로 놓으면 $x = u+1$ 이고 $dx = du$ 이다. 이후의 과정은 (b)에서 한 것과 매우 비슷하다. $\begin{aligned}\int x^2 \sqrt{x-1} \, dx &= \int (u+1)^2 u^{1/2} \, du \\ &= \int \left(u^2 + 2u + 1 \right) u^{1/2} \, du \\ &= \int \left(u^{5/2} + 2u^{3/2} + u^{1/2} \right) \, du \\ &= \frac{2}{7} u^{7/2} + \frac{4}{5} u^{5/2} + \frac{2}{3} u^{3/2} + C \\ &= \frac{2}{7} (x-1)^{7/2} + \frac{4}{5} (x-1)^{5/2} + \frac{2}{3} (x-1)^{3/2} + C\end{aligned}\,.$ $\int x \sqrt{x^2 - 1} \, dx$ 는 겉보기에는 매우 비슷해 보이지만 상황이 전혀 다르다. $u = x^2 - 1$ 로 놓으면 $du = 2x \, dx$ 이므로, 함수와 그 도함수의 쌍이 나타나는 표준적인 꼴이 된다. $x \, dx = \frac{1}{2} \, du$ 임에 주목하면 $\begin{aligned}\int x \sqrt{x^2 - 1} \, dx &= \int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} \, du \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}u^{3/2} + C \\ &= \frac{1}{3} u^{3/2} + C \\ &= \frac{1}{3} (x^2-1)^{3/2} + C\end{aligned}\,.$ 제곱근 안에 $(x-a)$ 가 있고 제곱근 밖에 다항식이 있는 경우에는, 치환 $u = x-a$ 를 이용하여 근호의 모양을 $\sqrt{x-a}$ 에서 $\sqrt{u}$ 로 바꿈으로써 피적분함수를 적분할 수 있는 식으로 바꿀 수 있다. 그다음 식을 전개하면 본질적으로 $u$ 의 (분수) 거듭제곱들의 합인 식을 적분하게 된다. 반면 제곱근 안에 $1$ 보다 높은 차수의 다항식(예: $x^2 - 1$ )이 있는 경우에는, 마지막 예에서처럼 그 다항식의 도함수(상수배는 무관)가 제곱근 밖에 있어야 적분할 수 있으므로, 그러한 행운이 따라 주어야 할 가능성이 크다.

이 문제로 이어서 풀기

# 치환적분법그래프·표 해석자동 분류