넓이(여러 가지 함수) 연습문제 — Active Calculus · 6.1절 · 11번

Active Calculus · 6.1절 · 11번우리말 번역

$f(x) = 1-x^2$ , $g(x) = ax^2 - a$ 라 하자. 여기서 $a$ 는 알려지지 않은 양의 실수이다. 두 곡선 $f$ 와 $g$ 사이의 넓이가 2가 되는 $a$ 의 값을 모두 구하세요.

영어 원문 보기

Let $f(x) = 1-x^2$ and $g(x) = ax^2 - a$ , where $a$ is an unknown positive real number. For what value(s) of $a$ is the area between the curves $f$ and $g$ equal to 2?

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

이 두 이차함수는 모두 점 $(-1,0)$ 과 $(1,0)$ 을 지나므로, 모든 양수 $a$ 에 대해 이 두 점이 두 그래프의 교점이다. 또한 $-1 < x < 1$ 에서 $1 - x^2 > ax^2 - a$ 이므로, 두 곡선 사이의 넓이는 다음과 같다.

$A = \int_{-1}^{1} \left( 1 - x^2 - (ax^2 - a) \right) \, dx = \int_{-1}^{1} \left( (1+a) - (1+a)x^2 \right) \, dx\,.$ 적분을 계산하면

$\begin{aligned}A &= \int_{-1}^{1} \left( 1 + a - (1+a)x^2 \right) \, dx \\ &= \left. (1+a)x - \frac{1+a}{3}x^3 \right|_{-1}^{1} \\ &= (1+a)(1) - \frac{1+a}{3}(1)^3 - \left( (1+a)(-1) - \frac{1+a}{3}(-1)^3 \right) \\ &= 2(1+a) - \frac{2(1+a)}{3} \\ &= \frac{4(1+a)}{3}\end{aligned}\,.$ $A = 2$ 가 되는 $a$ 의 값을 구해야 하므로 다음 방정식을 푼다.

$2 = \frac{4(1+a)}{3}\,,$ 이로부터 $a = \frac{1}{2}$ 이다. 따라서 아래 그림에서 두 곡선 사이의 넓이는 정확히 $A = 2$ 이다.

a = 1/2 일 때 함수 f(x) = 1-x 2 와 g(x) = ax 2 - a 의 그래프. 이 두 포물선은 (-1,0) 과 (1,0) 에서 만나며, 두 포물선이 둘러싼 유한한 영역에서 f 는 위쪽 함수이고 g 는 아래

원본 교재 풀이(영어)

Both of these quadratic functions pass through the points $(-1,0)$ and $(1,0)$ , and thus these are the two intersection points for all positive values of $a$ . In addition, since $1 - x^2 > ax^2 - a$ on $-1 < x < 1$ , it follows that the area between the curves is given by

$A = \int_{-1}^{1} \left( 1 - x^2 - (ax^2 - a) \right) \, dx = \int_{-1}^{1} \left( (1+a) - (1+a)x^2 \right) \, dx\,.$ Evaluating the integral, we find that

$\begin{aligned}A &= \int_{-1}^{1} \left( 1 + a - (1+a)x^2 \right) \, dx \\ &= \left. (1+a)x - \frac{1+a}{3}x^3 \right|_{-1}^{1} \\ &= (1+a)(1) - \frac{1+a}{3}(1)^3 - \left( (1+a)(-1) - \frac{1+a}{3}(-1)^3 \right) \\ &= 2(1+a) - \frac{2(1+a)}{3} \\ &= \frac{4(1+a)}{3}\end{aligned}\,.$ We want to know for which value(s) of $a$ it follows that $A = 2$ . Thus, we solve

$2 = \frac{4(1+a)}{3}\,,$ from which it follows that $a = \frac{1}{2}$ . Hence, in the figure below, the area between the two curves is exactly $A = 2$ .

$A plot of the functions f(x) = 1-x 2 and g(x) = ax 2 - a, with a = frac 1 2 . These two parabolas intersect at (-1,0) and (1,0); on the finite region they bound, f is the top function and g is the bot$

한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 6.1절 · 10번우리말 번역

다음 각 영역의 넓이를 정확하게 구하세요.

(a) 곡선 $x = y(y-2)$ 와 $x=-(y-1)(y-3)$ 사이의 유계인 영역. (b) 구간 $[\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$ 에서 사인함수와 코사인함수 사이의 영역. (c) $x = y^2 - y - 2$ 와 $y = 2x-1$ 사이의 유계인 영역. (d) $y = mx$ 와 $y = x^2-1$ 사이의 유계인 영역. 단, $m$ 은 양의 상수이다.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 두 그래프의 교점은 $y(y - 2) = -(y - 1)(y - 3)$ 일 때 생기므로, $y^2 - 2y = -(y^2 - 4y + 3)$ 즉 $2y^2 - 6y + 3 = 0$ 을 만족하는 $y$ 를 구해야 한다. 근의 공식에 의해 $y = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - (4)(2)(3)}}{(2)(2)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{4} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{2}\,.$ 아래 그림과 같이 $y = \frac{3 - \sqrt{3}}{2} \approx 0.63$ 과 $y = \frac{3 + \sqrt{3}}{2} \approx 2.37$ 사이에서 곡선 $x = -(y - 1)(y - 3)$ 이 $x = y(y - 2)$ 의 오른쪽에 있으므로( $x$ 값이 더 크므로), 두 곡선 사이의 넓이는 다음 적분으로 주어진다. $\int_{\frac{3 - \sqrt{3}}{2}}^{\frac{3 + \sqrt{3}}{2}} -(y - 1)(y - 3) - y(y - 2) \ dy\,.$ 이 적분의 값을 구하면 $\begin{aligned}A &= \int_{\frac{3 - \sqrt{3}}{2}}^{\frac{3 + \sqrt{3}}{2}} -2y^2 + 6y - 3 \ dy \\ &= \left. \left(-\frac{2}{3}y^3 + 3y^2 - 3y \right) \right|_{\frac{3 - \sqrt{3}}{2}}^{\frac{3 + \sqrt{3}}{2}} \\ &= \left[-\frac{2}{3} \left(\frac{3 + \sqrt{3}}{2}\right)^3 + 3\left(\frac{3 + \sqrt{3}}{2}\right)^2 - 3\left(\frac{3 + \sqrt{3}}{2}\right)\right] \\ &\qquad - \left[-\frac{2}{3} \left(\frac{3 - \sqrt{3}}{2}\right)^3 + 3\left(\frac{3 - \sqrt{3}}{2}\right)^2 - 3\left(\frac{3 - \sqrt{3}}{2}\right)\right] \\ &= -\frac{1}{12}(54+30\sqrt{3}) + \frac{1}{12}(54-30\sqrt{3}) + \frac{3}{4}(12+6\sqrt{3}) \\ &\qquad - \frac{3}{4}(12-6\sqrt{3}) - \frac{3}{2}(3+\sqrt{3}) + \frac{3}{2}(3-\sqrt{3}) \\ &= -5\sqrt{3} + 9\sqrt{3} - 3\sqrt{3} \\ &= \sqrt{3}\end{aligned}\,.$ 곡선 x = y(y-2) 와 x=-(y-1)(y-3) 의 그래프로, 두 곡선은 대략 (-0.86603, 0.63397) 과 (0.86603, 2.36603) 에서 만난다. 두 곡선으로 둘러싸인 유계인 영역은 x = y(y- (b) 아래 그림에서 보듯이, 이 구간에서 $y = \sin(x)$ 의 그래프가 $y = \cos(x)$ 의 그래프보다 위에 있다. 따라서 두 곡선 사이의 넓이는 다음과 같다. $\begin{aligned}A &= \int_{\pi/4}^{3\pi/4} \sin(x) - \cos(x) \ dx \\ &= \left. \left(-\cos(x) - \sin(x) \right) \right|_{\pi/4}^{3\pi/4} \\ &= \left[-\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) - \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) \right] - \left[-\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \right] \\ &= \left[ \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \right] + \left[ \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \right] \\ &= \sqrt{2}\end{aligned}\,.$ 구간 π/4 에서 3π/4 까지에서 곡선 y = sin(x) 와 y= cos(x) 의 그래프이다. 이 구간에서 두 곡선으로 둘러싸인 유계인 영역은 위쪽이 y = sin(x), 아래쪽이 y= cos(x) 이고, (c) $y = 2x - 1$ 을 $x = \frac{y+1}{2}$ 로 고쳐 쓸 수 있다. 두 곡선은 $y^2 - y - 2 = \frac{y+1}{2}$ 일 때 만난다. 따라서 $2y^2 - 2y - 4 = y+1$ 이므로 $2y^2 - 3y - 5 = 0$ 이고, 인수분해하면 $(2y-5)(y+1) = 0$ 이다. 그러므로 두 곡선은 $y = -1$ 또는 $y = \frac{5}{2}$ 에서 만난다. 아래 그림에서 보듯이 이 구간에서 $x = \frac{y+1}{2}$ 이 $x = y^2 - y - 2$ 의 오른쪽에 있으므로, 두 곡선 사이 영역의 넓이는 다음과 같다. $\begin{aligned}A &= \int_{-1}{5/2} \frac{y+1}{2} - (y^2-y-2) \ dy \\ &= \int_{-1}{5/2} -y^2 + \frac{3}{2}y + \frac{5}{2} \ dy \\ &= \left. \left( -\frac{y^3}{3} + \frac{3}{4}y^2 + \frac{5}{2}y \right) \right|_{-1}{5/2} \\ &= -\frac{1}{3}\left[\left(\frac{5}{2}\right)^3 + 1 \right] + \frac{3}{4}\left[\left(\frac{5}{2}\right)^2 - 1 \right] + \frac{5}{2}\left[\left(\frac{5}{2}\right) + 1 \right] \\ &= -\frac{133}{24} + \frac{63}{16} + \frac{35}{4} \\ &= \frac{343}{48}\end{aligned}\,.$ 곡선 x = y 2-y-2 와 y=2x+1 의 그래프로, 두 곡선은 대략 (-0.84307, -0.68614) 와 (0.59307, 2.18614) 에서 만난다. 두 곡선으로 둘러싸인 유계인 영역은 x = y 2-y-2 가 (d) 대표적인 그림( $m = 2$ 인 경우)이 아래에 있다. 두 곡선은 $x^2 - 1 = mx$ 일 때, 즉 $x^2 - mx - 1 = 0$ 일 때 만난다. 근의 공식에 의해 $x = \frac{m \pm \sqrt{m^2-4(1)(-1)}}{2} = \frac{m \pm \sqrt{m^2+4}}{2}\,.$ 세로로 자른 조각으로 적분하면, $y = mx$ 의 그래프가 항상 $y = x^2 - 1$ 의 그래프보다 위에 있으므로 두 그래프 사이 영역의 넓이는 다음과 같다. $\begin{aligned}A &= \int_{\frac{m - \sqrt{m^2+4}}{2}}^{\frac{m + \sqrt{m^2+4}}{2}} mx - \left(x^2-1\right) \ dx \\ &= \left. \left(-\frac{x^3}{3} + m\frac{x^2}{2} + x\right) \right|_{\frac{m - \sqrt{m^2+4}}{2}}^{\frac{m + \sqrt{m^2+4}}{2}} \\ &= - \frac{1}{3}\left(\frac{m + \sqrt{m^2+4}}{2}\right)^3 - \frac{1}{3}\left(\frac{m - \sqrt{m^2+4}}{2}\right)^3 + \frac{m}{2}\left(\frac{m + \sqrt{m^2+4}}{2}\right)^2 \\ &\qquad - \frac{m}{2}\left(\frac{m - \sqrt{m^2+4}}{2}\right)^2 + \left(\frac{m + \sqrt{m^2+4}}{2} - \frac{m - \sqrt{m^2+4}}{2} \right)\end{aligned}\,.$ 곡선 y=mx 와 y=x 2-1 의 그래프로, m 이 임의의 양수인 경우를 나타낸다. 두 곡선으로 둘러싸인 유계인 영역은 위쪽이 y=mx, 아래쪽이 y=x 2-1 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 넓이(여러 가지 함수)계산자동 분류