일

(a) 먼저 주어진 탱크의 그림을 그린다. 아래는 양의 $x$축이 아래를 향하도록 한 $f(x) = 3\cos \left( \frac{x^3}{4} \right)$ 의 그래프이다. 이 함수는 약 $1.84527$ 에서 처음으로 $x$축과 만난다. 제1사분면에 있는 곡선을 양의 $x$축에 대해 대칭이동하여 회전체를 만든다. $x$축에 수직인 단면은 두께가 $\triangle x$ 인 원판이다. 이제 탱크에 1세제곱피트당 $62.4$ 파운드인 물이 $1.5$ 피트 깊이까지 채워져 있다고 하자. 탱크의 바닥이 $1.84527$ 에 있으므로, $1.5$ 피트 깊이까지 채워져 있다는 것은 $x = 0.34527$ 부터 $x = 1.84527$ 까지 물이 있다는 뜻이다. 탱크에 $0.5$ 피트가 남을 때까지(즉 $x = 1.34527$ 인 높이까지) 물을 퍼 올리는 데 필요한 일을 구하려면, 먼저 대표적인 조각의 무게를 구해야 하고, 이를 위해서는 그 조각의 부피를 알아야 한다. 깊이 $x$ 에 있는 조각에 대해 $$V_{\text{조각}} \approx \pi \left( 3\cos \left( \frac{x^3}{4} \right) \right)^2 \triangle x\,.$$ 물은 1세제곱피트당 $62.4$ 파운드이므로, 이 조각의 무게(따라서 가해야 하는 힘)는 $$F_{\text{조각}} \approx 62.4 \cdot 9 \cdot \pi \cos^2 \left( \frac{x^3}{4} \right) \triangle x\,.$$ 마지막으로, 이 조각을 탱크 꼭대기까지 퍼 올리려면 조각을 $x$ 단위만큼 옮겨야 하므로 그 조각에 대한 일은 $$W_{\text{조각}} \approx x \cdot 561.6 \pi \cos^2 \left( \frac{x^3}{4} \right) \triangle x\,.$$ 전체 일의 양을 구하기 위해, $x = 0.34527$ (탱크가 처음에 $1.84527$ 피트까지 가득 차 있을 때 물의 윗면)부터 $x = 1.34527$ ($1$ 피트를 비운 뒤 물의 높이)까지 각 조각에 한 일을 정적분으로 더한다. 따라서 $$W = \int_{0.34527}^{1.34527} 561.6 \pi \cdot x \cos^2 \left( \frac{x^3}{4} \right) \, dx\,.$$ 이 적분의 값을 구하면 $W \approx 1353.55$ 피트파운드이다. (b) 탱크를 회전체가 아니라 길이가 10 피트인 탱크의 한쪽 끝면이 위의 이차원 도형인 여물통 모양으로 생각하면, 비슷한 문제가 되지만 조각은 얇은 원판이 아니라 얇은 직육면체 판이 된다. 각 조각은 너비가 $2 f(x)$, 길이가 $10$ 피트, 두께가 $\triangle x$ 임에 주목하자. 따라서 깊이 $x$ 에 있는 조각에 대해 $$V_{\text{조각}} \approx 2 \left( 3\cos \left( \frac{x^3}{4} \right) \right) \cdot 10 \cdot \triangle x\,.$$ 물은 1세제곱피트당 $62.4$ 파운드이므로, 이 조각의 무게(따라서 가해야 하는 힘)는 $$F_{\text{조각}} \approx 62.4 \cdot 60 \cos \left( \frac{x^3}{4} \right) \triangle x\,.$$ 마지막으로, 이 조각을 탱크 꼭대기까지 퍼 올리려면 조각을 $x$ 단위만큼 옮겨야 하므로 그 조각에 대한 일은 $$W_{\text{조각}} \approx x \cdot 3744 \cos \left( \frac{x^3}{4} \right) \triangle x\,.$$ 탱크가 가득 차 있다고 가정하고 물을 $h$ 피트만큼 낮추려면 $x = 0$ 부터 $x = h$ 까지의 조각을 생각하면 된다. 각 조각에 필요한 일을 정적분으로 더하면 전체 일은 $$W = \int_0^h 3744 x \cos \left( \frac{x^3}{4} \right) \, dx\,.$$ (c) (b)의 여물통에 대해, 탱크가 가득 찼을 때 한쪽 끝면에 작용하는 전체 수압에 의한 힘을 구하려 한다. 먼저, 위치 $x$ 에 있는 대표적인 조각은 수면 아래 $x$ 피트의 깊이에 있고 넓이는 $$A_{\text{조각}} \approx 2 f(x) \triangle x = 2 \left( 3\cos \left( \frac{x^3}{4} \right) \right) \triangle x$$ 이다. 이 조각 위의 어느 점이든 깊이가 $x$ 이므로 작용하는 압력은 $$P_{\text{조각}} \approx 62.4 x$$ 이다. 압력은 물의 무게 밀도에 깊이를 곱한 것이기 때문이다. 마지막으로 $F = P \cdot A$ 이므로, 물이 이 조각에 가하는 전체 힘은 $$F_{\text{조각}} = P_{\text{조각}} \cdot A_{\text{조각}} \approx 62.4 x \cdot 6 \cos \left( \frac{x^3}{4} \right) \triangle x\,.$$ 전체 힘을 구하기 위해 적분하여 더하면 $$F = \int_0^{1.84527} 374.4 x \cos \left( \frac{x^3}{4} \right) \, dx \approx 462.637$$ 파운드이다.