미분방정식의 기초 연습문제 — Active Calculus · 7.1절 · 9번

Active Calculus · 7.1절 · 9번대학 수준우리말 번역

어떤 생물 종의 개체 수가 함수 $P(t)$ 로 나타내어진다고 하자. 여기서 $P$ 는 백만 단위로 나타낸 값이다. 또한 개체 수의 변화율이 다음 미분방정식으로 주어진다고 하자.

$\frac{dP}{dt} = f(P)$

여기서 $f(P)$ 는 아래 그래프로 나타낸 함수이다.

$P 의 함수로서 frac dP dt = f(P) 의 그래프이다. frac dP dt 에 대한 세로 눈금은 주어져 있지 않으며, P 는 가로 방향으로 P=0 에서 P=4 까지이다. f(P) 의 그래프는 다음을 영점으로 갖는 삼차 다항식처럼 보인다.$

(a) 개체 수 $P$ 가 어떤 값일 때 개체 수가 증가하나요? (b) 개체 수 $P$ 가 어떤 값일 때 개체 수가 감소하나요? (c) $P(0) = 3$ 이면 개체 수는 시간에 따라 어떻게 변하나요? (d) 처음 개체 수가 $0< P(0)< 1$ 을 만족하면, 아주 오랜 시간이 지난 후 개체 수는 어떻게 되나요? (e) 처음 개체 수가 $1< P(0)< 3$ 을 만족하면, 아주 오랜 시간이 지난 후 개체 수는 어떻게 되나요? (f) 처음 개체 수가 $3< P(0)$ 을 만족하면, 아주 오랜 시간이 지난 후 개체 수는 어떻게 되나요? (g) 개체 수 증가에 대한 이 모델을 흔히 “문턱이 있는 증가”라고 부른다. 이 이름이 적절한 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Suppose that the population of a particular species is described by the function $P(t)$ , where $P$ is expressed in millions. Suppose further that the population's rate of change is governed by the differential equation

$\frac{dP}{dt} = f(P)$

where $f(P)$ is the function graphed below.

$A plot of frac dP dt = f(P) as a function of P. There is no vertical scale specified for frac dP dt ; P ranges horizontally from P=0 to P=4. The graph of f(P) looks like a cubic polynomial with zeros$

(a) For which values of the population $P$ does the population increase? (b) For which values of the population $P$ does the population decrease? (c) If $P(0) = 3$ , how will the population change in time? (d) If the initial population satisfies $0< P(0)< 1$ , what will happen to the population after a very long time? (e) If the initial population satisfies $1< P(0)< 3$ , what will happen to the population after a very long time? (f) If the initial population satisfies $3< P(0)$ , what will happen to the population after a very long time? (g) This model for a population's growth is sometimes called “growth with a threshold.” Explain why this is an appropriate name.

정답·풀이 보기

(a) 이 $P$ 의 값들에서 $\frac{dP}{dt} > 0$ 이므로 $1 < P < 3$ 에서 $P$ 는 증가한다. (b) 이 $P$ 의 값들에서 $\frac{dP}{dt} < 0$ 이므로 $P < 1$ 과 $3 < P < 4$ 에서 $P$ 는 감소한다. (c) $P(0) = 3$ 이면 $\frac{dP}{dt}\vert_{P=3} = 0$ 이고, 도함수가 $0$ 이므로 $P$ 는 시간이 지나도 전혀 변하지 않는다. (d) 처음 개체 수가 $0< P(0)< 1$ 을 만족하면, 개체 수는 $P$ 가 항상 양수인 채로 $P = 0$ 을 향해 감소할 것으로 예상된다. $0< P < 1$ 에서 $\frac{dP}{dt}$ 는 항상 음수이므로 이 구간에서 $P$ 는 항상 감소한다. $P$ 가 $0$ 인 값에서는 $\frac{dP}{dt} = 0$ 이어서 개체 수가 변하지 않으므로, 개체 수는 $P = 0$ 아래로 내려갈 수 없다. (e) 처음 개체 수가 $1< P(0)< 3$ 을 만족하면, 개체 수는 $P$ 가 항상 $1$ 과 $3$ 사이에 있는 채로 $P = 3$ 을 향해 증가할 것으로 예상된다. $1 < P < 3$ 에서 $\frac{dP}{dt}$ 는 항상 양수이므로 이 구간에서 $P$ 는 항상 증가한다. $P$ 가 $3$ 인 값에서는 $\frac{dP}{dt} = 0$ 이어서 개체 수가 변하지 않으므로, 개체 수는 $P = 3$ 위로 증가할 수 없다. (f) 처음 개체 수가 $3< P(0)$ 을 만족하면, 개체 수는 $P$ 가 항상 $3$ 보다 큰 채로 $P = 3$ 을 향해 감소할 것으로 예상된다. $P > 3$ 에서 $\frac{dP}{dt}$ 는 항상 음수이므로 이 구간에서 $P$ 는 항상 감소한다. $P$ 가 $3$ 인 값에서는 $\frac{dP}{dt} = 0$ 이어서 개체 수가 변하지 않으므로, 개체 수는 $P = 3$ 아래로 내려갈 수 없다. (g) 개체 수에는 두 개의 문턱이 있는 것으로 보인다. 하나는 최소 문턱 $P = 1$ 로, 이보다 개체 수가 적으면 개체 수가 $0$ 으로 감소한다. 다른 하나는 최대 문턱 $P = 3$ 으로, 개체 수가 최소 문턱보다 크고 최대 문턱보다 작으면 최대 문턱을 향해 증가하고, 개체 수가 최대 문턱보다 크면 그 값이 다시 최대 문턱을 향해 줄어든다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $P$ increases for $1 < P < 3$ since $\frac{dP}{dt} > 0$ for these $P$ -values. (b) $P$ decreases for $P < 1$ and $3 < P < 4$ since $\frac{dP}{dt} < 0$ for these $P$ -values. (c) If $P(0) = 3$ , $\frac{dP}{dt}\vert_{P=3} = 0$ , so $P$ will not change at all with time since its derivative is $0$ . (d) If the initial population satisfies $0< P(0)< 1$ , we expect that the population will decrease toward $P = 0$ with $P$ always being positive. Since $\frac{dP}{dt}$ is always negative for $0< P < 1$ , $P$ is always decreasing on this interval. The population can't drop below $P = 0$ because at that value of $P$ , $\frac{dP}{dt} = 0$ and at that value the population wouldn't change. (e) If the initial population satisfies $1< P(0)< 3$ , we expect that the population will increase toward $P = 3$ with $P$ always being between $1$ and $3$ . Since $\frac{dP}{dt}$ is always positive for $1 < P < 3$ , $P$ is always increasing on this interval. The population can't increase above $P = 3$ because at that value of $P$ , $\frac{dP}{dt} = 0$ and at that value the population wouldn't change. (f) If the initial population satisfies $3< P(0)$ , we expect that the population will decrease toward $P = 3$ with $P$ always being above $3$ . Since $\frac{dP}{dt}$ is always negative for $P > 3$ , $P$ is always decreasing on this interval. The population can't drop below $P = 3$ because at that value of $P$ , $\frac{dP}{dt} = 0$ and at that value the population wouldn't change. (g) It looks like there are two thresholds for the population: there's a minimum threshold of $P = 1$ , since below that population, the population decreases to $0$ , and there's a maximum threshold of $P = 3$ , where if we are above the minimum but below the maximum, the population works to increase toward the maximum threshold, while if the population is above the maximum, its value will fall back toward it.

한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 7.1절 · 8번우리말 번역

이 문제에서는 함수가 주어진 미분방정식의 해가 된다는 것이 무슨 뜻인지 더 알아봅니다.

(a) 미분방정식 $\frac{dy}{dt} = y - t\,$ 을 생각합니다. 다음 함수가 주어진 미분방정식의 해인지 각각 판단하세요. (i) $y(t) = t + 1 + 2e^t$ (ii) $y(t) = t + 1$ (iii) $y(t) = t + 2$ (b) 식료품점의 저울에 바나나를 올려 무게를 잴 때, 바나나의 높이 $h$ 는 미분방정식 $\frac{d^2h}{dt^2} = -kh$ 로 나타내집니다. 여기서 $k$ 는 용수철 상수로, 저울에 들어 있는 용수철의 성질에 따라 정해지는 상수입니다. 바나나를 저울에 올린 뒤, 여러분이 (영리하게도) 바나나의 높이가 $h(t) = 4\sin(3t)$ 로 주어짐을 관찰했습니다. 용수철 상수의 값은 얼마입니까?

다 풀었으면 정답 확인

(a) (i) $y(t) = t + 1 + 2e^t$ 가 $\frac{dy}{dt} = y - t$ 의 해인지 알아보기 위해, $\frac{dy}{dt}$ 와 $y - t$ 를 각각 계산하여 서로 같은지 확인한다. 먼저 $y(t) = t + 1 + 2e^t$ 이므로 $\frac{dy}{dt} = 1 + 2e^t\,.$ 다음으로 $y - t = ( t + 1 + 2e^t ) - t = 1 + 2e^t\,.$ 따라서 $y(t) = t + 1 + 2e^t$ 는 이 미분방정식을 만족하므로 실제로 해이다. (ii) $y(t) = t + 1$ 일 때, $\frac{dy}{dt} = 1$ 이고 $y - t = 1$ 이기도 하므로, $y(t) = t + 1$ 은 이 미분방정식의 해이다. (iii) $y(t) = t + 2$ 이면 $\frac{dy}{dt} = 1$ 이지만 $y - t = 2$ 이므로 $\frac{dy}{dt} \ne y-t$ 이고, 따라서 $y(t) = t + 2$ 는 이 미분방정식의 해가 아니다. (b) $h(t) = 4\sin(3t)$ 가 $\frac{d^2h}{dt^2} = -kh\,$ 의 해가 되려면 이 식이 참이 되어야 한다. $k$ 를 구하기 위해 $h$ 의 식을 미분방정식에 대입하여 $k$ 에 필요한 조건을 알아본다. $h(t) = 4\sin(3t)$ 에 대하여 $\frac{dh}{dt} = 12\cos(3t)$ 이고 $\frac{d^2h}{dt^2} = -36\sin(3t)\,.$ 미분방정식 $\frac{d^2h}{dt^2} = -kh\,$ 를 만족하려면 $-36\sin(3t) = -kh = -k \cdot 4\sin(3t)$ 이어야 한다. 따라서 $-36 = -4k$ 이어야 하고, 그러므로 $k = 9$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 미분방정식의 기초그래프·표 해석자동 분류