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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

평균변화율과 미분계수

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

APEX · 2.2절 · 5번우리말 번역

P(100)=−67P(100)=-67 이고 P′(100)=5P'(100) = 5 일 때, P(110)P(110) 의 값을 어림하세요.

영어 원문 보기

Given P(100)=−67P(100)=-67 and P′(100)=5P'(100) = 5, approximate P(110)P(110).

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−17-17

원본 교재 풀이(영어)

−17-17

한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 1.5절 · 6번우리말 번역

커피 한 잔의 시간 tt 에서의 온도 FF (단위: 화씨 도)가 함수 F(t)=75+110e−0.05tF(t) = 75 + 110 e^{-0.05t} 로 주어지고, 시간은 분 단위로 잰다.

(a) h=0.01h = 0.01 인 중심차분을 이용하여 F′(10)F'(10) 의 값을 어림하세요. (b) (a)에서 계산한 F′(10)F'(10) 의 값의 단위는 무엇입니까? F′(10)F'(10) 의 값이 실제로 의미하는 바는 무엇입니까? (c) F′(10)F'(10) 과 F′(20)F'(20) 중 어느 것이 더 클 것으로 예상합니까? 그 이유는 무엇입니까? (d) 시간 구간 0≤t≤300 \le t \le 30 에서 함수 y=F′(t)y = F'(t) 의 변화 양상을 설명하는 문장을 쓰세요. 그 그래프는 어떤 모양일 것이라고 생각합니까? 그 이유는 무엇입니까?

다 풀었으면 정답 확인

(a) 중심차분 공식을 이용하면 다음과 같다. F′(10)≈F(10.01)−F(9.99)0.02=(75+110e−0.05⋅10.01)−(75+110e−0.05⋅9.99)0.02≈−3.33592 .F'(10) \approx \frac{F(10.01) - F(9.99)}{0.02} = \frac{(75 + 110 e^{-0.05\cdot 10.01}) - (75 + 110 e^{-0.05\cdot 9.99})}{0.02} \approx -3.33592\,. (b) FF 는 화씨 도 단위로, tt 는 분 단위로 재므로 F′(10)≈−3.33592F'(10) \approx -3.33592 화씨 도/분이다. 이는 t=10t=10 인 순간에 커피의 온도가 분당 약 3.335923.33592 도의 순간변화율로 감소하고 있음을 뜻한다. 달리 말하면, 다음 1분 동안 커피의 온도가 약 3.335923.33592 도 떨어질 것으로 예상할 수 있다. (c) 커피의 온도와 주변 온도의 차이가 가장 큰 초반에 커피의 온도가 빠르게 감소하고, 시간이 지남에 따라 커피의 온도가 주변 실내 온도에 가까워질 것으로 예상한다. FF 가 항상 감소하는 함수이므로 F′F' 은 항상 음수임을 염두에 두면, F′(10)F'(10) 이 F′(20)F'(20) 보다 작다(더 음수이다)는 것을 알 수 있다. 이러한 관찰은 FF 의 그래프를 그려서도 확인할 수 있다. (d) F′F' 은 항상 음수이고, 시간이 지남에 따라 F′F' 이 00 에 점점 더 가까워질 것(즉, F′F' 이 증가함)으로 예상된다는 것을 앞에서 살펴보았다. 따라서 F′F' 의 그래프는 y=−e−xy = -e^{-x} 의 그래프와 비슷한 모양일 것으로 예상된다. −e−x-e^{-x} 도 지수함수이고, 항상 음수이며, 항상 증가하고, xx 가 커질수록 00 에 가까워지므로 이는 타당하다.

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# 평균변화율과 미분계수계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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