평균변화율과 미분계수

(a) 구간 $[40000,55000]$ 에서 $h$ 의 평균변화율을 구하려면, 이 구간에서 $h$ 의 값(달러)의 변화량을 $m$ 의 값(마일)의 변화량으로 나눈다. 그러면 $$AV_{[40000,55000]} = \frac{h(55000)- h(40000)}{55000-40000} = \frac{13200-15500}{15000} = -\frac{2300}{15000} \approx -0.153$$ 달러/마일이다. 이는 주행거리가 $40 000$ 마일에서 $50 000$ 마일까지 늘어나는 동안, 평균적으로 자동차의 가치가 주행 1마일당 $0.153$ 달러씩 감소함을 뜻한다. (b) $40 000$ 과 $70 0000$ 은 $55 000$ 에서 같은 거리에 있으므로, 중심차분몫을 이용하여 $55 0000$ 에서 $h$ 의 미분계수를 근사하면 $$h'(55000) \approx \frac{h(70000) - h(40000)}{70000-40000} = \frac{11100-15500}{30000} = - \frac{4400}{30000} \approx -0.147$$ 달러/마일이다. 이 근삿값은 자동차가 $55 000$ 마일을 주행한 순간에 자동차의 가치가 순간변화율 1마일당 $0.147$ 달러로 감소하고 있음을 뜻한다. 즉, $55 0001$번째 마일을 주행하는 동안 자동차의 가치가 $0.147$ 달러 떨어질 것으로 예상할 수 있다. (c) 자동차의 주행거리가 쌓일수록 가치는 내려갈 것으로 예상된다. 그러나 가치 하락은 처음에 더 크고, 주행거리가 늘어 자동차가 낡을수록 그 크기가 작아질 것으로 예상해야 한다. 그렇지만 자동차의 가치는 항상 감소하며 $h'(m)$ 은 항상 음수임에 유의하라. 따라서 $m$ 이 증가함에 따라 $h$ 의 변화율은 증가한다(덜 음수가 된다)고 예상할 수 있고, $h'(30000) < h'(80000)$ 이다. (d) 자동차의 가치는 결코 음수가 아니다. 따라서 모든 $m$ 에 대해 $h(m) \geq 0$ 임을 알 수 있다. 새 자동차는 처음에 가치가 매우 빠르게 떨어지고, 자동차가 낡고 주행거리가 늘어남에 따라 가치는 $0$ 에 가깝게 감가된다. 그러므로 $h$ 는 감소함수이다. 자동차의 가치는 항상 감소하므로 모든 $m > 0$ 에 대해 $h'(m) < 0$ 이다. $m$ 이 증가함에 따라 감가 속도가 느려진다는 사실은 $h'$ 이 증가하는(덜 음수가 되는) 함수임을 뜻한다. $h'$ 이 증가하므로 $h$ 는 아래로 볼록하다. 이 내용은 1.6절에서 더 자세히 공부할 것이다. 따라서 $h$ 의 그래프는 $x$ 가 양수일 때 $y = e^{-x}$ 의 그래프와 대체로 비슷한 모양일 수 있다.