함수의 그래프 그리기 연습문제 — APEX · 3.5절 · 31번

APEX · 3.5절 · 31번우리말 번역

$x^2+y^2=1$ 이 주어졌을 때, 음함수 미분을 이용하여 $\frac{dy}{dx}$ 와 $\frac{d^2y}{dx^2}$ 을 구하세요. 이 결과를 이용하여 단위원의 그래프 개형이 타당함을 설명하세요.

영어 원문 보기

Given $x^2+y^2=1$ , use implicit differentiation to find $\frac{dy}{dx}$ and $\frac{d^2y}{dx^2}$ . Use this information to justify the sketch of the unit circle.

정답·풀이 보기

$\frac{dy}{dx} = -x/y$ 이므로 함수는 제2사분면과 제4사분면에서 증가하고, 제1사분면과 제3사분면에서 감소한다.

$\frac{d^2y}{dx^2} = -1/y - x^2/y^3$ 이고, 이 값은 $y<0$ 일 때 양수이고 $y>0$ 일 때 음수이다. 따라서 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 위로 볼록하고, 제3사분면과 제4사분면에서 아래로 볼록하다.

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{dy}{dx} = -x/y$ , so the function is increasing in second and fourth quadrants, decreasing in the first and third quadrants.

$\frac{d^2y}{dx^2} = -1/y - x^2/y^3$ , which is positive when $y<0$ and is negative when $y>0$ . Hence the function is concave down in the first and second quadrants and concave up in the third and fourth quadrants.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.6절 · 13번우리말 번역

(a) 함수 $y=f(x)=x^5-x$ 의 그래프를 그리세요. 이때 점근선, 극댓값과 극솟값, 변곡점, 그리고 그래프가 아래로 볼록인 구간과 위로 볼록인 구간을 나타내세요. (b) 함수 $f(x)=x^5-x+k$ 를 생각하세요. 여기서 $k$ 는 상수이고 $-\infty<k<\infty$ 입니다. 이 함수는 몇 개의 근을 갖는지 구하세요. (답은 $k$ 의 값에 따라 달라질 수 있습니다.)

다 풀었으면 정답 확인

(a) 먼저 미분한다. $f(x) = x^5-x\qquad f'(x)=5x^4-1\qquad f''(x)=20x^3\qquad$ 함수와 그 도함수로부터 다음을 알 수 있다.

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)=\infty$ , $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)=-\infty$
$|x|> \dfrac{1}{\sqrt[4]{5}}$ 에서 $f'(x)> 0$ (즉, $f$ 는 증가)
$x= \pm\dfrac{1}{\sqrt[4]{5}} \approx \pm 0.67$ 에서 $f'(x)=0$ (즉, $f$ 는 임계점을 가짐)
$|x| < \dfrac{1}{\sqrt[4]{5}}$ 에서 $f'(x)< 0$ (즉, $f$ 는 감소)
$f\left(\pm\dfrac{1}{\sqrt[4]{5}}\right)=\mp\dfrac{4}{5\sqrt[4]{5}}\approx\mp0.53$

이로부터 그래프의 대략적인 모양을 처음으로 짐작할 수 있다.

이 뼈대를 이계도함수의 정보를 이용해 다듬는다.

$x> 0$ 에서 $f''(x)> 0$ (즉, $f$ 는 아래로 볼록),
$x=0$ 에서 $f''(x)=0$ (즉, $f$ 는 변곡점을 가짐),
$x<0$ 에서 $f''(x)< 0$ (즉, $f$ 는 위로 볼록)

따라서

$f$ 는 점근선이 없다
$f$ 는 $x=-\dfrac{1}{\sqrt[4]{5}}$ 에서 극대이고 $x=\dfrac{1}{\sqrt[4]{5}}$ 에서 극소이다
$f$ 는 $x=0$ 에서 변곡점을 갖는다
$f$ 는 $x<0$ 에서 위로 볼록이고 $x>0$ 에서 아래로 볼록이다

(b) 함수 $x^5-x+k$ 가 $x=x_0$ 에서 근을 가질 필요충분조건은 $x=x_0$ 에서 $x^5-x=-k$ 인 것이다. 따라서 $x^5-x+k$ 의 서로 다른 실근의 개수는 곡선 $y=x^5-x$ 가 수평선 $y=-k$ 와 만나는 횟수와 같다. $x^5-x$ 의 극댓값( $x=-\dfrac{1}{\sqrt[4]{5}}$ 일 때)은 $\dfrac{4}{5\sqrt[4]{5}}$ 이고, $x^5-x$ 의 극솟값( $x=\dfrac{1}{\sqrt[4]{5}}$ 일 때)은 $-\dfrac{4}{5\sqrt[4]{5}}$ 이다. 따라서 위의 $x^5-x$ 의 그래프를 보면, $x^5-x+k$ 의 서로 다른 실근의 개수는 다음과 같다.

$|k|>\dfrac{4}{5\sqrt[4]{5}}$ 일 때 1
$|k|=\dfrac{4}{5\sqrt[4]{5}}$ 일 때 2
$|k|<\dfrac{4}{5\sqrt[4]{5}}$ 일 때 3

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