정적분과 급수(구분구적법)

${L}_{N}=\frac{b-a}{N}\sum_{i=1}^{N}f\left(a+(b-a)\frac{i-1}{N}\right)=\frac{b-a}{N}\sum_{i=0}^{N-1}f\left(a+(b-a)\frac{i}{N}\right)$ 이고 ${R}_{N}=\frac{b-a}{N}\sum_{i=1}^{N}f\left(a+(b-a)\frac{i}{N}\right)$ 이다. 왼쪽 합에는 $i=0$ 에 해당하는 항이 있고 오른쪽 합에는 $i=N$ 에 해당하는 항이 있다. ${R}_{N}-{L}_{N}$ 에서 $i=1,2,\ldots ,\,N-1$ 에 해당하는 항은 각각 한 번은 더하는 부호로, 한 번은 빼는 부호로 나타나므로 이러한 항은 모두 상쇄되고, ${R}_{N}-{L}_{N}=\frac{b-a}{N}\left(f(a+(b-a))\frac{N}{N}\right)-\left(f(a)+(b-a)\frac{0}{N}\right)=\frac{b-a}{N}(f(b)-f(a))$ 가 남는다.