정적분과 급수(구분구적법) 연습문제 — OpenStax 1권 · 5.1절 · 55번

OpenStax 1권 · 5.1절 · 55번우리말 번역

다음 연습문제에서 계산기 또는 컴퓨터 프로그램을 사용하여 $N=1,10,100$ 에 대해 끝점 합 R_N 과 L_N 의 값을 구하세요.

일반적으로 ${R}_{N}-{L}_{N}=(b-a)\,\times \,\frac{f(b)-f(a)}{N}$ 임을 보이세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, use a calculator or a computer program to evaluate the endpoint sums R_N and L_N for $N=1,10,100.$

Show that, in general, ${R}_{N}-{L}_{N}=(b-a)\,\times \,\frac{f(b)-f(a)}{N}.$

정답·풀이 보기

${L}_{N}=\frac{b-a}{N}\sum_{i=1}^{N}f\left(a+(b-a)\frac{i-1}{N}\right)=\frac{b-a}{N}\sum_{i=0}^{N-1}f\left(a+(b-a)\frac{i}{N}\right)$ 이고 ${R}_{N}=\frac{b-a}{N}\sum_{i=1}^{N}f\left(a+(b-a)\frac{i}{N}\right)$ 이다. 왼쪽 합에는 $i=0$ 에 해당하는 항이 있고 오른쪽 합에는 $i=N$ 에 해당하는 항이 있다. ${R}_{N}-{L}_{N}$ 에서 $i=1,2,\ldots ,\,N-1$ 에 해당하는 항은 각각 한 번은 더하는 부호로, 한 번은 빼는 부호로 나타나므로 이러한 항은 모두 상쇄되고, ${R}_{N}-{L}_{N}=\frac{b-a}{N}\left(f(a+(b-a))\frac{N}{N}\right)-\left(f(a)+(b-a)\frac{0}{N}\right)=\frac{b-a}{N}(f(b)-f(a))$ 가 남는다.

원본 교재 풀이(영어)

${L}_{N}=\frac{b-a}{N}\sum_{i=1}^{N}f\left(a+(b-a)\frac{i-1}{N}\right)=\frac{b-a}{N}\sum_{i=0}^{N-1}f\left(a+(b-a)\frac{i}{N}\right)$ and ${R}_{N}=\frac{b-a}{N}\sum_{i=1}^{N}f\left(a+(b-a)\frac{i}{N}\right).$ The left sum has a term corresponding to $i=0$ and the right sum has a term corresponding to $i=N.$ In ${R}_{N}-{L}_{N},$ any term corresponding to $i=1,2,\ldots ,\,N-1$ occurs once with a plus sign and once with a minus sign, so each such term cancels and one is left with ${R}_{N}-{L}_{N}=\frac{b-a}{N}\left(f(a+(b-a))\frac{N}{N}\right)-\left(f(a)+(b-a)\frac{0}{N}\right)=\frac{b-a}{N}(f(b)-f(a)).$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.1절 · 49번우리말 번역

다음 연습문제에서 계산기나 컴퓨터 프로그램을 사용하여 $N=1,10,100$ 일 때 끝점 합 R_N 과 L_N 의 값을 구하세요. 이 어림값은 기하를 이용하여 구할 수 있는 정확한 답과 어떻게 비교되는지 설명하세요.

[계산기 사용] 구간 $[0,1]$ 에서 $y=\cos (\pi x)$

다 풀었으면 정답 확인

${R}_{1}=-1,{L}_{1}=1,{R}_{10}=-0.1,{L}_{10}=0.1,{L}_{100}=0.01$ , 그리고 ${R}_{100}=-0.01$ . 그래프의 대칭성에 의해 정확한 넓이는 0이다.

이 문제로 이어서 풀기

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