부분적분법

(a) $u = x^3$ 으로 $u$-치환을 사용한다. 피적분함수가 $x^3$ 을 가장 안쪽 함수로 하는 합성함수를 포함하고, $du = 3x^2 \, dx$ 에 피적분함수에도 있는 인수 $x^2$ 이 들어 있기 때문이다. 이렇게 치환하면 $x^2 \ dx = \frac{1}{3} \ du$ 이므로 적분은 다음과 같이 계산할 수 있다. $$\begin{aligned}\int x^2 \cos(x^3) \ dx &= \frac{1}{3} \int \cos(u) \ du \\ &= \frac{1}{3} \sin(u) + C \\ &= \frac{1}{3} \sin(x^3) + C\end{aligned}\,.$$ (b) 피적분함수에 합성함수가 있으므로 $z = x^3/$ 으로 치환해 볼 수 있다. 이때 $dz = 3x^2 \, dx$ 이다. 이 치환을 하려면 피적분함수를 다음과 같이 고쳐 써야 한다. $$x^5 \cos(x^3) = x^3 \left[x^2 \cos(x^3) \right]$$ 그리고 $x^3 = z$ 임에 주목한다. 그러면 $$\int x^5 \cos(x^3) \ dx = \frac{1}{3} \int z \cos(z) \ dz\,.$$ 이 마지막 적분에 다음과 같이 놓고 부분적분을 시도해 볼 수 있다. $$\begin{aligned}u &= z, \ du = dz \\ dv & = \cos(z) \, dz, \ v = \sin(z)\end{aligned}$$ 그러면 $$\begin{aligned}\int x^5 \cos(x^3) \ dx &= \frac{1}{3} \int z \cos(z) \ dz \\ &= \frac{1}{3} \left(z\sin(z) - \int \sin(z) \ dz \right) \\ &= \frac{1}{3} \left(z\sin(z) + \cos(z) \right) + C \\ &= \frac{1}{3} \left(x^3\sin(x^3) + \cos(x^3) \right) + C\end{aligned}\,.$$ (c) 로그함수는 미분하면 유리함수로 바뀌므로, $u = \ln(x^2) = 2\ln(x)$ 로 놓고 부분적분을 하면 나오는 적분의 값을 구하기가 더 쉬워진다. 그래서 다음과 같이 놓는다. $$\begin{aligned}u &= \ln(x^2), \ du = \frac{2}{x} \ dx \\ dv & = x \ dx , \ v = \frac{x^2}{2}\end{aligned}$$ 그러면 부분적분에 의해 $$\begin{aligned}\int x ln(x^2) \ dx &= \frac{x^2}{2} \ln(x^2) - \int \left(\frac{2}{x}\right) \left(\frac{x^2}{2}\right) \ dx \\ &= \frac{x^2}{2} \ln(x^2) - \int x \ dx \\ &= \frac{x^2}{2} \ln(x^2) - \frac{x^2}{2} + C\end{aligned}\,.$$ (d) $u = x^4$ 으로 치환해 볼 수 있지만, 그러면 $du = 4x^3 \ dx$ 인데 피적분함수에는 $x^3$ 인수가 없어서 이 치환을 완성할 수 없다. 부분적분을 시도하면 선택할 수 있는 것은 $u = sin(x^4)$ 로 놓는 것뿐인데, 이때 $du = 4x^3 \cos(x^4)$ 이 되어 적분이 더 복잡해질 뿐이다. 이것은 우리가 가진 도구로는 값을 구할 수 없는 적분이다. (e) $u = x^4$ 으로 $u$-치환을 시도한다. 피적분함수가 $x^4$ 을 가장 안쪽 함수로 하는 합성함수를 포함하고, $du = 4x^3 \, dx$ 에 피적분함수에도 있는 인수 $x^3$ 이 들어 있기 때문이다. 이렇게 치환하면 $x^3 \ dx = \frac{1}{4} \ du$ 이므로 적분은 다음과 같이 계산할 수 있다. $$\begin{aligned}\int x^3 \sin(x^4) \ dx &= \frac{1}{4} \int \sin(u) \ du \\ &= -\frac{1}{4} \cos(u) + C \\ &= -\frac{1}{4} \cos(x^4) + C\end{aligned}\,.$$ (f) 부분적분을 사용한다. 다음에 주목한다. $$\int x^7 \sin(x^4) \ dx = \int x^4 \left[x^3 \sin(x^4)\right] \ dx$$ 미분할 수 있는 인수($x^3$)와 ((e)에서 했던 것처럼) 적분할 수 있는 인수($x^3 \sin(x^4)$)가 있다. 그래서 다음과 같이 놓는다. $$\begin{aligned}u &= x^3, \ du = 3x^2 \ dx \\ dv & = x^3 \sin(x^4) \ dx , \ v = -\frac{1}{4} \cos(x^4)\end{aligned}$$ 이제 부분적분 공식에 의해 $$\int x^7 \sin(x^4) \ dx = -\frac{1}{4} x^4 \cos(x^4) + \int x^3 \cos(x^4) \ dx\,.$$ 이 마지막 적분은 본질적으로 $dv$ 에서 $v$ 를 구하는 것과 같으므로, $z = x^4$, $dz = 4x^3 \ dx$ 로 치환한다. 마지막 적분에서 변수를 바꾸면 $$\begin{aligned}\int x^7 \sin(x^4) \ dx &= -\frac{1}{4} x^4 \cos(x^4) + \int x^3 \cos(x^4) \ dx \\ &= -\frac{1}{4} x^4 \cos(x^4) + \frac{1}{4} \int \cos(z) \ dz \\ &= -\frac{1}{4} x^4 \cos(x^4) + \frac{1}{4} \sin(z) + C \\ &= -\frac{1}{4} x^4 \cos(x^4) + \frac{1}{4} \sin(x^4) + C\end{aligned}\,.$$