부분적분법 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.OpenStax 2권 · 3.1절 · 5번우리말 풀이

부분적분법을 쓸 때는 어느 식을 $u$ 로 놓을지 신중히 골라야 해요. 다음 각 문제에서 이 절의 지침을 써서 $u$ 를 고르세요. 적분을 계산하지는 마세요.

$\int {e}^{3x}\sin (2x)dx$

영어 원문 보기

In using the technique of integration by parts, you must carefully choose which expression is u. For each of the following problems, use the guidelines in this section to choose u. Do not evaluate the integrals.

$\int {e}^{3x}\sin (2x)dx$

답 쓰고 채점

풀이 보기

$u$ 는 미분했을 때 간단해지거나 같은 꼴로 돌아오는 쪽으로 고르고, 보통 삼각함수를 지수함수보다 먼저(=u 로) 놓아요.

1
왜 이렇게 할까요? 부분적분 $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ 에서 $u$ 를 고르는 기준이 필요해요. 흔히 로그·역삼각·다항·삼각·지수 순서(앞쪽일수록 $u$ 로 놓음)로 고르는 지침을 써요.
2
이 문제에 적용해요. 곱해진 두 함수는 $e^{3x}$ (지수함수)와 $\sin(2x)$ (삼각함수)예요. 지침에서 삼각함수가 지수함수보다 앞이므로 $u=\sin(2x)$ , $dv=e^{3x}dx$ 로 놓아요.
3
참고. 이 적분은 두 번 부분적분하면 처음 적분이 다시 나타나는 꼴이라, 어느 쪽을 $u$ 로 잡아도 두 번 모두 같은 방식으로 잡기만 하면 풀려요.

답

$u=\sin(2x)$ (그러면 $dv=e^{3x}dx$ )

자주 하는 실수

두 번째 부분적분에서 $u$ 와 $dv$ 의 역할을 바꿔서 처음 식으로 되돌아가 버려요.

원본 교재 풀이(영어)

$u=\sin (2x)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.1절 · 41번

# 부분적분법개념 확인기본

2.OpenStax 2권 · 3.1절 · 37번우리말 풀이

다음 적분을 가장 간단한 방법으로 구하세요. 모든 문제에 부분적분이 필요한 것은 아니에요.

$\int x\cosh x\,dx$

영어 원문 보기

Find the integral by using the simplest method. Not all problems require integration by parts.

$\int x\cosh x\,dx$

풀이 보기

곱의 꼴에서 미분하면 간단해지는 쪽( $x$ )을 $u$ 로 잡고 부분적분을 떠올려요.

1
$x$ 와 $\cosh x$ 가 곱해져 있고 치환으로는 풀리지 않아요. 그래서 부분적분 $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ 를 써요. $x$ 는 미분하면 $1$ 이 되어 간단해지니까 $u=x$ , $dv=\cosh x\,dx$ 로 잡아요.
2
공식에 넣을 $du$ 와 $v$ 를 구해요. $du=dx$ 이고, $\sinh x$ 를 미분하면 $\cosh x$ 이므로 $v=\sinh x$ 예요.
3
공식에 대입해요. $\int x\cosh x\,dx=x\sinh x-\int \sinh x\,dx$
4
남은 적분은 쉬워요. $\cosh x$ 를 미분하면 $\sinh x$ 이므로 $\int\sinh x\,dx=\cosh x$ 예요. 따라서 $\int x\cosh x\,dx=x\sinh x-\cosh x+C$
5
검산으로 미분해 봐요. $(x\sinh x-\cosh x)'=\sinh x+x\cosh x-\sinh x=x\cosh x$ 로 처음 식이 나와요.

답

$x\sinh x-\cosh x+C$

자주 하는 실수

$u=\cosh x$ , $dv=x\,dx$ 로 거꾸로 잡으면 $x^2$ 이 나와 적분이 더 어려워져요.

원본 교재 풀이(영어)

$-\cosh x+x\sinh x+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.1절 · 5번

# 부분적분법계산보통

3.OpenStax 2권 · 3.1절 · 1번우리말 번역

부분적분 기법을 사용할 때는 어떤 식을 u 로 둘지 신중하게 골라야 합니다. 다음 각 문제에서 이 절의 지침을 이용하여 u 를 고르세요. 적분을 계산하지는 마세요.

$\int {x}^{3}{e}^{2x}dx$

영어 원문 보기

In using the technique of integration by parts, you must carefully choose which expression is u. For each of the following problems, use the guidelines in this section to choose u. Do not evaluate the integrals.

$\int {x}^{3}{e}^{2x}dx$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$u={x}^{3}$

원본 교재 풀이(영어)

$u={x}^{3}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.1절 · 3번

# 부분적분법계산자동 분류

4.OpenStax 2권 · 3.1절 · 2번우리말 번역

부분적분 기법을 사용할 때는 어떤 식을 u 로 잡을지 신중하게 선택해야 합니다. 다음 각 문제에서 이 절의 지침을 이용하여 u 를 선택하세요. 적분은 계산하지 마세요.

$\int {x}^{3}\ln (x)dx$

영어 원문 보기

In using the technique of integration by parts, you must carefully choose which expression is u. For each of the following problems, use the guidelines in this section to choose u. Do not evaluate the integrals.

$\int {x}^{3}\ln (x)dx$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.7절 · 23번

# 부분적분법계산자동 분류

5.OpenStax 2권 · 3.1절 · 3번우리말 번역

부분적분 기법을 사용할 때는 어떤 식을 u 로 잡을지 신중하게 선택해야 합니다. 다음 각 문제에서 이 절의 지침을 이용하여 u 를 선택하세요. 적분은 계산하지 마세요.

$\int {y}^{3}\cos ydy$

영어 원문 보기

In using the technique of integration by parts, you must carefully choose which expression is u. For each of the following problems, use the guidelines in this section to choose u. Do not evaluate the integrals.

$\int {y}^{3}\cos ydy$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$u={y}^{3}$

원본 교재 풀이(영어)

$u={y}^{3}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.1절 · 9번

# 부분적분법계산자동 분류

6.OpenStax 2권 · 3.1절 · 4번우리말 번역

부분적분 기법을 사용할 때는 어떤 식을 u 로 잡을지 신중하게 선택해야 합니다. 다음 각 문제에서 이 절의 지침을 이용하여 u 를 선택하세요. 적분은 계산하지 마세요.

$\int {x}^{2}\arctan x\,dx$

영어 원문 보기

In using the technique of integration by parts, you must carefully choose which expression is u. For each of the following problems, use the guidelines in this section to choose u. Do not evaluate the integrals.

$\int {x}^{2}\arctan x\,dx$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.1절 · 9번

# 부분적분법계산자동 분류

7.OpenStax 2권 · 3.1절 · 6번우리말 번역

가장 간단한 방법을 사용하여 적분을 구하세요. 모든 문제가 부분적분을 필요로 하는 것은 아닙니다.

$\int v\sin vdv$

영어 원문 보기

Find the integral by using the simplest method. Not all problems require integration by parts.

$\int v\sin vdv$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.1절 · 25번

# 부분적분법계산자동 분류

8.OpenStax 2권 · 3.1절 · 7번우리말 번역

가장 간단한 방법을 사용하여 적분을 구하세요. 모든 문제에 부분적분이 필요한 것은 아닙니다.

$\int \ln x\,dx$ (힌트: $\int \ln x\,dx$ 는 $\int 1\cdot \ln (x)dx.)$ 와 같습니다.)

영어 원문 보기

Find the integral by using the simplest method. Not all problems require integration by parts.

$\int \ln x\,dx$ (Hint: $\int \ln x\,dx$ is equivalent to $\int 1\cdot \ln (x)dx.)$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$-x+x\ln x+C$

원본 교재 풀이(영어)

$-x+x\ln x+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.1절 · 1번

# 부분적분법계산자동 분류

9.OpenStax 2권 · 3.1절 · 8번우리말 번역

가장 간단한 방법을 사용하여 적분을 구하세요. 모든 문제에 부분적분이 필요한 것은 아닙니다.

$\int x\cos x\,dx$

영어 원문 보기

Find the integral by using the simplest method. Not all problems require integration by parts.

$\int x\cos x\,dx$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.1절 · 35번

# 부분적분법계산자동 분류

10.OpenStax 2권 · 3.1절 · 9번우리말 번역

가장 간단한 방법을 사용하여 적분을 구하세요. 모든 문제에 부분적분이 필요한 것은 아닙니다.

$\int {\tan }^{-1}x\,dx$

영어 원문 보기

Find the integral by using the simplest method. Not all problems require integration by parts.

$\int {\tan }^{-1}x\,dx$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$x{\tan }^{-1}x-\frac{1}{2}\ln (1+{x}^{2})+C$

원본 교재 풀이(영어)

$x{\tan }^{-1}x-\frac{1}{2}\ln (1+{x}^{2})+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.1절 · 67번

# 부분적분법계산자동 분류

11.OpenStax 2권 · 3.1절 · 10번우리말 번역

가장 간단한 방법을 사용하여 적분을 구하세요. 모든 문제에 부분적분이 필요한 것은 아닙니다.

$\int {x}^{2}{e}^{x}dx$

영어 원문 보기

Find the integral by using the simplest method. Not all problems require integration by parts.

$\int {x}^{2}{e}^{x}dx$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.1절 · 23번

# 부분적분법계산자동 분류

12.OpenStax 2권 · 3.1절 · 11번우리말 번역

가장 간단한 방법을 사용하여 적분을 구하세요. 모든 문제에 부분적분이 필요한 것은 아닙니다.

$\int x\sin (2x)dx$

영어 원문 보기

Find the integral by using the simplest method. Not all problems require integration by parts.

$\int x\sin (2x)dx$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$-\frac{1}{2}x\cos (2x)+\frac{1}{4}\sin (2x)+C$

원본 교재 풀이(영어)

$-\frac{1}{2}x\cos (2x)+\frac{1}{4}\sin (2x)+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 6.2절 · 2번

# 부분적분법계산자동 분류

13.OpenStax 2권 · 3.1절 · 12번우리말 번역

가장 간단한 방법을 사용하여 적분을 구하세요. 모든 문제에 부분적분이 필요한 것은 아닙니다.

$\int x{e}^{4x}dx$

영어 원문 보기

Find the integral by using the simplest method. Not all problems require integration by parts.

$\int x{e}^{4x}dx$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.1절 · 33번

# 부분적분법계산자동 분류

14.OpenStax 2권 · 3.1절 · 13번우리말 번역

가장 간단한 방법을 사용하여 적분을 구하세요. 모든 문제에 부분적분이 필요한 것은 아닙니다.

$\int x{e}^{-x}dx$

영어 원문 보기

Find the integral by using the simplest method. Not all problems require integration by parts.

$\int x{e}^{-x}dx$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

${e}^{-x}(-1-x)+C$

원본 교재 풀이(영어)

${e}^{-x}(-1-x)+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 6.2절 · 1번

# 부분적분법계산자동 분류

15.OpenStax 2권 · 3.1절 · 14번우리말 번역

가장 간단한 방법을 사용하여 적분을 구하세요. 모든 문제에 부분적분이 필요한 것은 아닙니다.

$\int x\cos 3x\,dx$

영어 원문 보기

Find the integral by using the simplest method. Not all problems require integration by parts.

$\int x\cos 3x\,dx$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.1절 · 65번

# 부분적분법계산자동 분류

16.OpenStax 2권 · 3.1절 · 15번우리말 번역

가장 간단한 방법을 사용하여 적분을 구하세요. 모든 문제에 부분적분이 필요한 것은 아닙니다.

$\int {x}^{2}\cos x\,dx$

영어 원문 보기

Find the integral by using the simplest method. Not all problems require integration by parts.

$\int {x}^{2}\cos x\,dx$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$2x\cos x+(-2+{x}^{2})\sin x+C$

원본 교재 풀이(영어)

$2x\cos x+(-2+{x}^{2})\sin x+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.1절 · 13번

# 부분적분법계산자동 분류

17.OpenStax 2권 · 3.1절 · 16번우리말 번역

가장 간단한 방법을 사용하여 적분을 구하세요. 모든 문제에 부분적분이 필요한 것은 아닙니다.

$\int x\ln x\,dx$

영어 원문 보기

Find the integral by using the simplest method. Not all problems require integration by parts.

$\int x\ln x\,dx$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 5.4절 · 15번

# 부분적분법계산자동 분류

18.OpenStax 2권 · 3.1절 · 17번우리말 번역

가장 간단한 방법을 사용하여 적분을 구하세요. 모든 문제에 부분적분이 필요한 것은 아닙니다.

$\int \ln (2x+1)dx$

영어 원문 보기

Find the integral by using the simplest method. Not all problems require integration by parts.

$\int \ln (2x+1)dx$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$\frac{1}{2}(1+2x)(-1+\ln (1+2x))+C$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{1}{2}(1+2x)(-1+\ln (1+2x))+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.1절 · 15번

# 부분적분법계산자동 분류

19.OpenStax 2권 · 3.1절 · 18번우리말 번역

가장 간단한 방법을 사용하여 적분을 구하세요. 모든 문제에 부분적분이 필요한 것은 아닙니다.

$\int {x}^{2}{e}^{4x}dx$

영어 원문 보기

Find the integral by using the simplest method. Not all problems require integration by parts.

$\int {x}^{2}{e}^{4x}dx$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 6.2절 · 4번

# 부분적분법계산자동 분류

20.OpenStax 2권 · 3.1절 · 19번우리말 번역

가장 간단한 방법을 사용하여 적분을 구하세요. 모든 문제에 부분적분이 필요한 것은 아닙니다.

$\int {e}^{x}\sin x\,dx$

영어 원문 보기

Find the integral by using the simplest method. Not all problems require integration by parts.

$\int {e}^{x}\sin x\,dx$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$\frac{1}{2}{e}^{x}(-\cos x+\sin x)+C$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{1}{2}{e}^{x}(-\cos x+\sin x)+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.1절 · 17번

# 부분적분법계산자동 분류