삼각함수의 적분

“안쪽 함수”가 있으므로 $s=\cos x$ 로 치환하며 시작한다. 그러면 $-\mathrm{d}s=\sin x ~\mathrm{d}x$ 이고 $\sin^2 x = 1-\cos^2 x = 1-s^2$ 이다.

$$\begin{aligned} \int \sin(\cos x)\sin^3 x ~\mathrm{d}x&=\int \sin(\cos x) \cdot \sin^2 x \cdot \sin x \mathrm{d}x\\ &=-\int \sin(s)\cdot (1-s^2) ~\mathrm{d}s \\ \text{$u=(1-s^2)$, $\mathrm{d}v=\sin s ~\mathrm{d}s$ 로 놓고 부분적분을 하면 $\mathrm{d}u=-2s~\mathrm{d}s$, $v = -\cos s$ 이다.} \\ &=-\left[-(1-s^2)\cos s - \int 2s\cos s~ \mathrm{d}s\right] \\&= (1-s^2)\cos s + \int 2s\cos s~ \mathrm{d}s \\ \text{$u=2s$, $\mathrm{d}v=\cos s ~\mathrm{d}s$ 로 놓고 다시 부분적분을 하면 $\mathrm{d}u=2~\mathrm{d}s$, $v=\sin s$ 이다.} \\ &=(1-s^2)\cos s + 2s\sin s - \int 2\sin s~\mathrm{d}s \\&=(1-s^2)\cos s + 2s\sin s +2\cos s +C \\&=\sin^2 x\cdot\cos (\cos x) + 2\cos x\cdot\sin (\cos x) +2\cos (\cos x) +C \\&=(\sin^2x+2)\cos (\cos x) + 2\cos x\cdot\sin (\cos x) +C \end{aligned}$$