높이가 6 ft이고 반지름이 3 ft인 원기둥 모양의 탱크에 무게 밀도가 62.4 lb/ft 인 물이 가득 차 있다. 이 물을 탱크 꼭대기보다 2 ft 높은 지점까지 퍼 올리려 한다.
(a) 탱크의 물을 모두 퍼 올리는 데 한 일은 얼마입니까? (b) 탱크에서 물 3 ft 높이만큼을 퍼 올리는 데 한 일은 얼마입니까? (c) 전체 일의 1/2이 이루어지는 시점은 언제입니까?
영어 원문 보기
A 6 ft cylindrical tank with a radius of 3 ft is filled with water, which has a weight density of 62.4 lb/ft. The water is to be pumped to a point 2 ft above the top of the tank.
(a) How much work is performed in pumping all the water from the tank? (b) How much work is performed in pumping 3 ft of water from the tank? (c) At what point is 1/2 of the total work done?
정답·풀이 보기
(a) 52,929.6 ft–lb (b) 18,525.3 ft–lb (c) 탱크에서 물을 3.83 ft 높이만큼 퍼냈을 때이며, 이때 탱크에는 약 2.17 ft 높이의 물이 남는다.
원본 교재 풀이(영어)
(a) 52,929.6 ft–lb (b) 18,525.3 ft–lb (c) When 3.83 ft of water have been pumped from the tank, leaving about 2.17 ft in the tank.
한 번 더 — 비슷한 문제APEX · 7.5절 · 22번우리말 번역
휘발유 탱크로리에 무게 밀도가 45.93 lb/ft 인 휘발유가 가득 차 있다. 바닥의 배출 밸브가 닫힌 채 고장이 나서, 작업자는 휘발유를 탱크 꼭대기보다 1 ft 높은 지점까지 퍼 올려 탱크를 비워야 한다. 탱크는 길이가 20 ft이고 지름이 7.5 ft인 완전한 원기둥이라고 가정한다. 탱크의 휘발유를 모두 퍼 올리는 데 한 일은 얼마입니까?
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192,767 ft–lb. 탱크가 가로로 놓여 있음에 주의한다. 탱크의 원형 단면 중 한쪽의 중심을 원점으로 하자. 반지름이 3.75 ft이고 휘발유를 까지 퍼 올리므로, 휘발유가 이동하는 거리는 이다. 물의 미소 요소는 길이가 20이고 너비가 인 직사각형이다. 따라서 이 휘발유 조각을 옮기는 데 필요한 힘은 이다. 한 일의 총량은 이다. 이 값은 실제로 적분하지 않고도 구할 수 있다. 이 적분을 로 나눈다. 첫 번째 적분은 원의 넓이의 절반을 구하는 것으로 계산할 수 있고, 두 번째 적분은 어렵지 않게 0임을 보일 수 있다. (치환을 사용하면 위끝과 아래끝이 모두 0이 됨을 알 수 있다.)