다변수함수의 극한과 연속

(a) 극좌표에서

$$\frac{xy}{x^2+y^2}=\frac{r^2\cos\theta\sin\theta}{r^2} =\cos\theta\sin\theta$$

이므로 극한은 존재하지 않는다. 예를 들어,

• $(x,y)$ 를 양의 $x$ 축을 따라 $(0,0)$ 으로 보내면 $\theta=0$ 이므로 극한 $\sin\theta\cos\theta\big|_{\theta=0}=0$ 을 얻고,
• 제1사분면에서 직선 $y=x$ 를 따라 $(x,y)$ 를 $(0,0)$ 으로 보내면 $\theta=\frac{\pi}{4}$ 이므로 극한 $\sin\theta\cos\theta\big|_{\theta=\pi/4}=\frac{1}{2}$ 을 얻는다.

(b) 이 극한이 존재한다고 하면 극한

$$\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2} =\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{xy}{\sin(xy)}\ \frac{\sin(xy)}{x^2+y^2} =\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{xy}{\sin(xy)}\ \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{\sin(xy)}{x^2+y^2}$$

도 존재해야 하므로 이 극한은 존재하지 않는다. ($\displaystyle \lim_{t\rightarrow 0}\tfrac{\sin t}{t} =1$ 임을 떠올리세요.)

(c)

$$\begin{aligned} \lim_{(x,y)\rightarrow(-1,1)}\big[x^2+2xy^2+y^4\big] &=(-1)^2+2(-1)(1)^2+(1)^4=0 \\ \lim_{(x,y)\rightarrow(-1,1)}\big[1+y^4\big] &=1+(1)^4=2 \end{aligned}$$

이고 두 번째 극한이 0이 아니므로

$$\lim_{(x,y)\rightarrow(-1,1)}\frac{x^2+2xy^2+y^4}{1+y^4}=\frac{0}{2}=0$$

이다.

(d) 양의 $x$ 축을 따른 극한

$$\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{t\rightarrow 0}{t>0}}|y|^x\Big|_{(x,y)=(t,0)} =\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{t\rightarrow 0}{t>0}}0^t =\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{t\rightarrow 0}{t>0}}0 =0$$

과 $y$ 축을 따른 극한

$$\lim_{t\rightarrow 0}|y|^x\Big|_{(x,y)=(0,t)} =\lim_{t\rightarrow 0}|t|^0 =\lim_{t\rightarrow 0}1 =1$$

이 서로 다르므로 $(x,y)\rightarrow 0$ 일 때의 극한은 존재하지 않는다.