방향도함수와 기울기벡터 연습문제 — APEX · 12.6절 · 1번

APEX · 12.6절 · 1번대학 수준우리말 번역

벡터 $\vec v=\left\langle 1,0,3\right\rangle$ 가 어떻게 "기울기" 3을 갖는 것으로 볼 수 있는지 설명하세요.

영어 원문 보기

Explain how the vector $\vec v=\left\langle 1,0,3\right\rangle$ can be thought of as having a “slope” of 3.

정답·풀이 보기

답은 다양할 수 있다. 이 벡터의 변위는 $x$ 방향으로 1단위, $z$ 방향으로 3단위이며 $y$ 는 변하지 않는다. 따라서 $\vec v$ 에 평행한 직선을 따라 $z$ 의 변화량은 $x$ 의 변화량의 3배이다. 즉 "기울기"가 3이다. 구체적으로, $z$ 에 평행한 $x$ - $z$ 평면 위의 직선은 기울기가 3이다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary. The displacement of the vector is one unit in the $x$ -direction and 3 units in the $z$ -direction, with no change in $y$ . Thus along a line parallel to $\vec v$ , the change in $z$ is 3 times the change in $x$ – i.e., a “slope” of 3. Specifically, the line in the $x$ - $z$ plane parallel to $z$ has a slope of 3.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.7절 · 25번우리말 번역

불꽃이 원점에 있고, 그 근처의 점 $(x,y,z)$ 에서의 온도 $T$ 가 다음과 같이 주어진다고 가정하세요.

$T(x,y,z)=\frac{200}{1+x^2+y^2+z^2}$

여기서 좌표의 단위는 미터이고 온도의 단위는 섭씨 도입니다. 어느 순간 나방이 점 $(3,4,0)$ 에 있고, 온도가 최대로 증가하는 방향으로 $1 {\rm m/s}$ 의 일정한 속력으로 날고 있다고 하세요.

(a) 이 순간 나방의 속도 벡터 $\mathbf{v}$ 를 구하세요. (b) 이 순간 나방이 느끼는 온도의 변화율은 얼마인지 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 나방은 $(3,4,0)$ 에서 온도의 기울기 벡터 방향으로 움직이고 있으며, 그 기울기 벡터는 다음과 같다.

${ \boldsymbol{\nabla} } T(3,4,0) =-200\frac{2x\hat{\boldsymbol{\imath}}+2y\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2z\hat{\mathbf{k}}}{{(1+x^2+y^2+z^2)}^2}\bigg|_{(3,4,0)} =-400\frac{3\hat{\boldsymbol{\imath}}+4\hat{\boldsymbol{\jmath}}}{26^2}$

나방의 속력이 $1 {\rm m/s}$ 이므로 나방의 속도 벡터는 방향이 $-\frac{400}{26^2}\left< 3,4,0\right>$ 와 같고 길이가 1인 벡터이다. 따라서 $\mathbf{v}=-\frac{\left< 3,4,0\right>}{|\left< 3,4,0\right>|} =-\left<\frac{3}{5},\frac{4}{5},0\right>$ 이다.

(b) 그 순간 나방이 느끼는 (단위 시간당) 온도의 변화율은 다음과 같다.

${ \boldsymbol{\nabla} } T(3,4,0)\cdot\mathbf{v} =\frac{400}{26^2}\left< 3,4,0\right>\cdot \left<\frac{3}{5},\frac{4}{5},0\right> =\frac{400\times25}{26^2\times 5} =\frac{500}{169}\approx 2.96^\circ/{\rm s}$

이 문제로 이어서 풀기

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