방향도함수와 기울기벡터 연습문제 — APEX · 12.6절 · 3번

APEX · 12.6절 · 3번대학 수준우리말 번역

참/거짓: $z=f(x,y)$ 가 $P$ 에서 미분가능하다고 하자. $\vec n$ 이 $P$ 에서 $f$ 의 접평면에 대한 법선벡터이면, $\vec n$ 은 $P$ 에서 $\ell_x$ 와 $\ell_y$ 에 수직이다.

영어 원문 보기

T/F: Let $z=f(x,y)$ be differentiable at $P$ . If $\vec n$ is a normal vector to the tangent plane of $f$ at $P$ , then $\vec n$ is orthogonal to $\ell_x$ and $\ell_y$ at $P$ .

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원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.7절 · 27번우리말 번역

$xy$ -평면 위에 있는 호수의 깊이는 $f(x, y) = 32-x^2-4x-4y^2$ 미터이다.

(a) $xy$ -평면에 호수의 해안선을 그리세요.

미적분학 강사님이 점 $(-1, 1)$ 에서 물속에 있다. 다음을 만족하기 위해 강사님이 헤엄쳐야 할 방향을 나타내는 단위벡터를 구하세요.

(a) 같은 깊이를 유지하려면? (b) 깊이가 가능한 한 빠르게 깊어지게 하려면? (즉, 물에 빠질 가능성이 가장 높게 하려면)

다 풀었으면 정답 확인

(a) 해안선은 $f(x,y)=0$ 또는 $x^2+4x+4y^2=32$ 또는 $(x+2)^2+4y^2=36$ 이고, 이는 $(-2,0)$ 을 중심으로 하고 $x$ 방향의 반축이 $6$ , $y$ 방향의 반축이 $3$ 인 타원이다.

(b,c) $(-1,1)$ 에서 $f$ 의 기울기 벡터는

${ \boldsymbol{\nabla} } f(-1,1)=\big[(-2x-4)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-8y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\big]_{(-1,1)}=-2\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-8\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}$

같은 깊이를 유지하려면 깊이의 기울기 벡터에 수직인 방향으로 헤엄쳐야 한다. 따라서 $\pm\frac{1}{\sqrt{17}}\left< 4,-1\right>$ 방향으로 헤엄쳐야 한다. 깊이가 가능한 한 빠르게 깊어지게 하려면 깊이의 기울기 벡터 방향으로 헤엄쳐야 하며, 그 방향은 $-\frac{1}{\sqrt{17}}\left< 1,4\right>$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 방향도함수와 기울기벡터개념 확인자동 분류