무한대에서의 극한과 점근선 연습문제 — CLP-1 · 1.5절 · 8번

CLP-1 · 1.5절 · 8번우리말 번역

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow\infty} \dfrac{\sqrt{3x^8+7x^4}+10}{x^4-2x^2+1}$ 의 값을 구하세요.

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Evaluate $\displaystyle\lim_{x \rightarrow\infty} \dfrac{\sqrt{3x^8+7x^4}+10}{x^4-2x^2+1}$ .

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늘 쓰는 방법대로 분모에서 $x$ 의 최고차 거듭제곱인 $x^4$ 으로 묶는다. 다만 제곱근에서는 조금 주의해야 한다. $x$ 가 양의 무한대로 가는 극한이므로 $x$ 의 값은 양수이고, 따라서 $\sqrt{x^2}=x$ 이고 $\sqrt{x^8}=x^4$ 이다.

$\begin{aligned} \displaystyle\lim_{x \rightarrow\infty} \dfrac{\sqrt{3x^8+7x^4}+10}{x^4-2x^2+1}&= \displaystyle\lim_{x \rightarrow\infty} \dfrac{\sqrt{x^8(3+\frac{7}{x^4})}+10}{x^4(1-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^4})} \\&= \displaystyle\lim_{x \rightarrow\infty} \dfrac{\sqrt{x^8}\sqrt{3+\frac{7}{x^4}}+10}{x^4(1-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^4})}\\&= \displaystyle\lim_{x \rightarrow\infty} \dfrac{x^4\sqrt{3+\frac{7}{x^4}}+10}{x^4(1-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^4})}\\&= \displaystyle\lim_{x \rightarrow\infty} \dfrac{x^4\left(\sqrt{3+\frac{7}{x^4}}+\frac{10}{x^4}\right)}{x^4(1-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^4})}\\&= \displaystyle\lim_{x \rightarrow\infty} \dfrac{\sqrt{3+\frac{7}{x^4}}+\frac{10}{x^4}}{1-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^4}}\\ &=\frac{\sqrt{3+0}+0}{1-0+0}=\sqrt{3} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Our standard trick is to factor out the highest power of $x$ in the denominator: $x^4$ . We just have to be a little careful with the square root. Since we are taking the limit as $x$ goes to positive infinity, we have positive $x$ -values, so $\sqrt{x^2}=x$ and $\sqrt{x^8}=x^4$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 1.5절 · 9번우리말 번역

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty} \left[\sqrt{x^2+5x}-\sqrt{x^2-x}\right]$

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두 항이 각각 한없이 커진다. 이 두 항을 빼면 어떻게 되는지는 처음에는 분명하지 않다. 이 식을 다른 꼴로 바꾸기 위해, 켤레식 $\sqrt{x^2+5x}+\sqrt{x^2-x}$ 을 분자와 분모에 곱한다.

$\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow \infty}\left[\sqrt{x^2+5x}-\sqrt{x^2-x}\right] &=\lim_{x\rightarrow \infty}\left[\dfrac{(\sqrt{x^2+5x}-\sqrt{x^2-x})(\sqrt{x^2+5x}+\sqrt{x^2-x})}{\sqrt{x^2+5x}+\sqrt{x^2-x}}\right]\\ &= \lim_{x\rightarrow \infty}\dfrac{(x^2+5x)-(x^2-x)} {\sqrt{x^2+5x}+\sqrt{x^2-x}}\\ & = \lim_{x\rightarrow \infty}\dfrac{6x}{\sqrt{x^2+5x}+\sqrt{x^2-x}} \\ \text{이제 분자와 분모를 $x$ 로 나눈다. 분모의 경우 $x>0$ 이므로 $x=\sqrt{x^2}$ 이다.} \\ &= \lim_{x\rightarrow \infty}\dfrac{6(x)}{\sqrt{x^2}\sqrt{1+\frac{5}{x}}+\sqrt{x^2}\sqrt{1-\frac{1}{x}}} \\&= \lim_{x\rightarrow \infty}\dfrac{6(x)}{(x)\sqrt{1+\frac{5}{x}}+(x)\sqrt{1-\frac{1}{x}}} \\& = \lim_{x\rightarrow \infty}\dfrac{6}{\sqrt{1+\frac{5}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}}\\ &=\frac{6}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1-0}}= 3 \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 무한대에서의 극한과 점근선계산보통자동 분류