무한대에서의 극한과 점근선 연습문제

1.OpenStax 1권 · 4.6절 · 11번우리말 풀이

다음 문제에서 극한을 구하세요.

$\lim_{x\to \infty }\dfrac{1}{3x+6}$

영어 원문 보기

For the following exercises, evaluate the limit.

$\lim_{x\to \infty }\frac{1}{3x+6}$

답 쓰고 채점

풀이 보기

분자는 일정한데 분모가 한없이 커지면 분수는 $0$ 에 가까워져요.

1
분모가 어떻게 되는지 봐요. $x\to\infty$ 이면 $3x+6$ 도 한없이 커져요.
2
분수의 값을 판단해요. $1$ 을 한없이 큰 수로 나누면 $0$ 에 가까워지므로

$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{3x+6}=0$

답

$0$

자주 하는 실수

$\dfrac{1}{\infty}$ 를 정의되지 않는 꼴로 착각해요. 분자가 상수이고 분모가 한없이 커지면 $0$ 이에요.

원본 교재 풀이(영어)

$0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.6절 · 25번

# 무한대에서의 극한과 점근선계산기본

2.OpenStax 1권 · 4.6절 · 25번우리말 풀이

다음 문제에서 수평점근선과 수직점근선을 구하세요.

$f(x)=\sin (x)\sin (2x)$

영어 원문 보기

For the following exercises, find the horizontal and vertical asymptotes.

$f(x)=\sin (x)\sin (2x)$

풀이 보기

수평점근선은 $x\to\pm\infty$ 에서 함수가 한 값에 다가갈 때만, 수직점근선은 어떤 점에서 함숫값이 무한대로 갈 때만 생겨요.

1
수직점근선을 찾아요. $\sin x$ 와 $\sin 2x$ 는 모든 실수에서 연속이고 값이 $-1$ 과 $1$ 사이에 있어서 곱도 어디서나 유한한 값이에요. 값이 무한대로 가는 점이 없으니 수직점근선은 없어요.
2
수평점근선을 찾으려면 $x\to\infty$ 에서 한 값에 다가가는지 확인해요. 사인 함수는 계속 진동하기만 하고 어느 값으로 모이지 않아요. 예를 들어 $x=\dfrac{\pi}{4}+2n\pi$ 이면 $\sin x=\dfrac{\sqrt2}{2}$ , $\sin 2x=1$ 이라 $f(x)=\dfrac{\sqrt2}{2}$ 이고, $x=n\pi$ 이면 $\sin x=0$ 이라 $f(x)=0$ 이에요.
3
결론을 내려요. $x$ 가 커져도 $f(x)$ 가 $\dfrac{\sqrt2}{2}$ 와 $0$ 을 번갈아 되풀이해서 어떤 하나의 값으로 다가가지 않아요. $x\to-\infty$ 일 때도 마찬가지예요. 따라서 수평점근선도 없어요.

답

수평점근선: 없음, 수직점근선: 없음

자주 하는 실수

함숫값이 $-1$ 과 $1$ 사이에 갇혀 있으니 $y=0$ 이 수평점근선이라고 생각해요. 점근선이 되려면 그 값에 한없이 가까워져야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

Horizontal: none, vertical: none

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.6절 · 39번

# 무한대에서의 극한과 점근선개념 확인보통

3.OpenStax 1권 · 4.6절 · 39번우리말 풀이

다음 문제에서는 그래픽 계산기에서 창을 $x=[-5,5]$ 로 놓고 함수의 그래프를 그려 수평점근선이나 극한을 어림해 보세요. 그런 다음 실제 수평점근선이나 극한을 계산하세요.

[계산기 사용] $f(x)=\dfrac{1}{x+10}$

영어 원문 보기

For the following exercises, graph the function on a graphing calculator on the window $x=[-5,5]$ and estimate the horizontal asymptote or limit. Then, calculate the actual horizontal asymptote or limit.

[T] $f(x)=\frac{1}{x+10}$

답 쓰고 채점

풀이 보기

$x\to\infty$ 일 때 분모가 한없이 커지므로 $f(x)\to0$ 이고, 수평점근선은 $y=0$ 이에요.

1
창 안에서 어림해요. $-5\le x\le5$ 에서 $f(x)$ 는 $\dfrac{1}{5}$ 에서 $\dfrac{1}{15}$ 사이의 양수 값이에요. $0$ 에 가까워지는 듯하지만 이 작은 창만으로는 점근선을 확신하기 어려워요.
2
실제 극한을 계산해요. $x\to\infty$ 이면 $x+10\to\infty$ 이므로 $\dfrac{1}{x+10}\to0$ 이에요. $x\to-\infty$ 일 때도 분모의 절댓값이 한없이 커져서 $0$ 에 가까워져요.
3
점근선을 말해요. 극한이 $0$ 이므로 수평점근선은 $y=0$ 이에요. (참고로 $x=-10$ 에서는 분모가 $0$ 이라 수직점근선이 생기지만, 이 창 밖에 있어요.)

답

$\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0$ 이므로 수평점근선은 $y=0$

자주 하는 실수

주어진 창 안의 그래프만 보고 점근선이 없다고 하거나 $x=-10$ 의 수직점근선을 놓쳐요.

원본 교재 풀이(영어)

$y=0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.5절 · 26번

# 무한대에서의 극한과 점근선계산기본

4.OpenStax 1권 · 4.6절 · 1번우리말 번역

다음 연습문제에서, 그래프를 살펴보고 수직 점근선의 위치를 찾으세요.

그래프로 나타낸 함수는 왼쪽에서 x = 1 에 가까워질수록 매우 빠르게 감소하고, x = 1 의 반대쪽에서는 무한대 근처에서 시작하여 빠르게 감소하는 것으로 보입니다.

영어 원문 보기

For the following exercises, examine the graphs. Identify where the vertical asymptotes are located.

The function graphed decreases very rapidly as it approaches x = 1 from the left, and on the other side of x = 1, it seems to start near infinity and then decrease rapidly.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$x=1$

원본 교재 풀이(영어)

$x=1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.6절 · 5번

# 무한대에서의 극한과 점근선그래프·표 해석자동 분류

5.OpenStax 1권 · 4.6절 · 2번우리말 번역

다음 문제에서 그래프를 살펴보세요. 수직점근선이 어디에 있는지 찾으세요.

그래프로 나타낸 함수는 왼쪽에서 x = −3에 가까워질수록 매우 빠르게 증가하고, x = −3의 반대쪽에서는 음의 무한대 근처에서 시작하여 빠르게 증가하면서 아래로 향한 U자 모양을 이루며, U자의 다른 쪽 끝은 x = 2에 있는 것으로 보인다. x = 2의 반대쪽에서는 그래프가 무한대 근처에서 시작하여 빠르게 감소하는 것으로 보인다.

영어 원문 보기

For the following exercises, examine the graphs. Identify where the vertical asymptotes are located.

The function graphed increases very rapidly as it approaches x = −3 from the left, and on the other side of x = −3, it seems to start near negative infinity and then increase rapidly to form a sort of U shape that is pointing down, with the other side of the U being at x = 2. On the other side of x = 2, the graph seems to start near infinity and then decrease rapidly.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.6절 · 15번

# 무한대에서의 극한과 점근선그래프·표 해석자동 분류

6.OpenStax 1권 · 4.6절 · 3번우리말 번역

다음 문제에서 그래프를 살펴보세요. 수직점근선이 어디에 있는지 찾으세요.

그래프로 나타낸 함수는 왼쪽에서 x = −1에 가까워질수록 매우 빠르게 감소하고, x = −1의 반대쪽에서는 음의 무한대 근처에서 시작하여 빠르게 증가하면서 아래로 향한 U자 모양을 이루며, U자의 다른 쪽 끝은 x = 2에 있는 것으로 보인다. x = 2의 반대쪽에서는 그래프가 무한대 근처에서 시작하여 빠르게 감소하는 것으로 보인다.

영어 원문 보기

For the following exercises, examine the graphs. Identify where the vertical asymptotes are located.

The function graphed decreases very rapidly as it approaches x = −1 from the left, and on the other side of x = −1, it seems to start near negative infinity and then increase rapidly to form a sort of U shape that is pointing down, with the other side of the U being at x = 2. On the other side of x = 2, the graph seems to start near infinity and then decrease rapidly.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$x=-1,x=2$

원본 교재 풀이(영어)

$x=-1,x=2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.6절 · 1번

# 무한대에서의 극한과 점근선그래프·표 해석자동 분류

7.OpenStax 1권 · 4.6절 · 4번우리말 번역

다음 문제에서 그래프를 살펴보세요. 수직점근선이 어디에 있는지 찾으세요.

그래프로 나타낸 함수는 왼쪽에서 x = 0에 가까워질수록 매우 빠르게 감소하고, x = 0의 반대쪽에서는 무한대 근처에서 시작하여 빠르게 감소하면서 위로 향한 U자 모양을 이루며, U자의 다른 쪽 끝은 x = 1에 있는 것으로 보인다. x = 1의 반대쪽에는 아래로 향한 또 다른 U자 모양이 있으며, 그 다른 쪽 끝은 x = 2에 있다. x = 2의 반대쪽에서는 그래프가 음의 무한대 근처에서 시작하여 빠르게 증가하는 것으로 보인다.

영어 원문 보기

For the following exercises, examine the graphs. Identify where the vertical asymptotes are located.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.5절 · 19번

# 무한대에서의 극한과 점근선그래프·표 해석자동 분류

8.OpenStax 1권 · 4.6절 · 5번우리말 번역

다음 문제에서 그래프를 살펴보세요. 수직점근선이 어디에 있는지 찾으세요.

그래프로 나타낸 함수는 왼쪽에서 x = 0에 가까워질수록 매우 빠르게 감소하고, x = 0의 반대쪽에서는 무한대 근처에서 시작하여 빠르게 감소하면서 위로 향한 U자 모양을 이루며, 그 다른 쪽은 x축의 모든 값을 다 가질 것처럼 보이는 평범한 함수의 모양이다.

영어 원문 보기

For the following exercises, examine the graphs. Identify where the vertical asymptotes are located.

The function graphed decreases very rapidly as it approaches x = 0 from the left, and on the other side of x = 0, it seems to start near infinity and then decrease rapidly to form a sort of U shape that is pointing up, with the other side being a normal function that appears as if it will take the entirety of the values of the x-axis.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$x=0$

원본 교재 풀이(영어)

$x=0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.6절 · 3번

# 무한대에서의 극한과 점근선그래프·표 해석자동 분류

9.OpenStax 1권 · 4.6절 · 6번우리말 번역

다음 함수 $f(x)$ 에 대하여 $x=a$ 에서 점근선이 있는지 판단하세요. 계산기로 그래프를 그리지 않고 답의 근거를 설명하세요.

$f(x)=\frac{x+1}{{x}^{2}+5x+4},a=-1$

영어 원문 보기

For the following functions $f(x),$ determine whether there is an asymptote at $x=a.$ Justify your answer without graphing on a calculator.

$f(x)=\frac{x+1}{{x}^{2}+5x+4},a=-1$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.6절 · 17번

# 무한대에서의 극한과 점근선증명·논술자동 분류

10.OpenStax 1권 · 4.6절 · 7번우리말 번역

다음 함수 $f(x)$ 에 대해 $x=a$ 에서 점근선이 있는지 판단하세요. 계산기로 그래프를 그리지 말고 그 이유를 설명하세요.

$f(x)=\frac{x}{x-2},a=2$

영어 원문 보기

For the following functions $f(x),$ determine whether there is an asymptote at $x=a.$ Justify your answer without graphing on a calculator.

$f(x)=\frac{x}{x-2},a=2$

정답·풀이 보기

예, 수직점근선이 있다

원본 교재 풀이(영어)

Yes, there is a vertical asymptote

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.6절 · 5번

# 무한대에서의 극한과 점근선증명·논술자동 분류

11.OpenStax 1권 · 4.6절 · 8번우리말 번역

다음 함수 $f(x)$ 에 대해 $x=a$ 에서 점근선이 있는지 판단하세요. 계산기로 그래프를 그리지 말고 그 이유를 설명하세요.

$f(x)={(x+2)}^{3/2},a=-2$

영어 원문 보기

For the following functions $f(x),$ determine whether there is an asymptote at $x=a.$ Justify your answer without graphing on a calculator.

$f(x)={(x+2)}^{3/2},a=-2$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.5절 · 15번

# 무한대에서의 극한과 점근선증명·논술자동 분류

12.OpenStax 1권 · 4.6절 · 9번우리말 번역

다음 함수 $f(x)$ 에 대해 $x=a$ 에서 점근선이 있는지 판단하세요. 계산기로 그래프를 그리지 말고 그 이유를 설명하세요.

$f(x)={(x-1)}^{-1/3},a=1$

영어 원문 보기

For the following functions $f(x),$ determine whether there is an asymptote at $x=a.$ Justify your answer without graphing on a calculator.

$f(x)={(x-1)}^{-1/3},a=1$

정답·풀이 보기

예, 수직점근선이 있다

원본 교재 풀이(영어)

Yes, there is vertical asymptote

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.6절 · 7번

# 무한대에서의 극한과 점근선증명·논술자동 분류

13.OpenStax 1권 · 4.6절 · 10번우리말 번역

다음 함수 $f(x)$ 에 대해 $x=a$ 에서 점근선이 있는지 판단하세요. 계산기로 그래프를 그리지 말고 그 이유를 설명하세요.

$f(x)=1+{x}^{-2/5},a=1$

영어 원문 보기

For the following functions $f(x),$ determine whether there is an asymptote at $x=a.$ Justify your answer without graphing on a calculator.

$f(x)=1+{x}^{-2/5},a=1$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.6절 · 7번

# 무한대에서의 극한과 점근선증명·논술자동 분류

14.OpenStax 1권 · 4.6절 · 12번우리말 번역

다음 연습문제에서 극한의 값을 구하세요.

$\lim_{x\to \infty }\frac{2x-5}{4x}$

영어 원문 보기

For the following exercises, evaluate the limit.

$\lim_{x\to \infty }\frac{2x-5}{4x}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.6절 · 49번

# 무한대에서의 극한과 점근선계산자동 분류

15.OpenStax 1권 · 4.6절 · 13번우리말 번역

다음 연습문제에서 극한의 값을 구하세요.

$\lim_{x\to \infty }\frac{{x}^{2}-2x+5}{x+2}$

영어 원문 보기

For the following exercises, evaluate the limit.

$\lim_{x\to \infty }\frac{{x}^{2}-2x+5}{x+2}$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\infty$

원본 교재 풀이(영어)

$\infty$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.6절 · 59번

# 무한대에서의 극한과 점근선계산자동 분류

16.OpenStax 1권 · 4.6절 · 14번우리말 번역

다음 연습문제에서 극한의 값을 구하세요.

$\lim_{x\to -\infty }\frac{3{x}^{3}-2x}{{x}^{2}+2x+8}$

영어 원문 보기

For the following exercises, evaluate the limit.

$\lim_{x\to -\infty }\frac{3{x}^{3}-2x}{{x}^{2}+2x+8}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.6절 · 1번

# 무한대에서의 극한과 점근선계산자동 분류

17.OpenStax 1권 · 4.6절 · 15번우리말 번역

다음 연습문제에서 극한의 값을 구하세요.

$\lim_{x\to -\infty }\frac{{x}^{4}-4{x}^{3}+1}{2-2{x}^{2}-7{x}^{4}}$

영어 원문 보기

For the following exercises, evaluate the limit.

$\lim_{x\to -\infty }\frac{{x}^{4}-4{x}^{3}+1}{2-2{x}^{2}-7{x}^{4}}$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$-\frac{1}{7}$

원본 교재 풀이(영어)

$-\frac{1}{7}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.6절 · 51번

# 무한대에서의 극한과 점근선계산자동 분류

18.OpenStax 1권 · 4.6절 · 16번우리말 번역

다음 연습문제에서 극한의 값을 구하세요.

$\lim_{x\to \infty }\frac{3x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$

영어 원문 보기

For the following exercises, evaluate the limit.

$\lim_{x\to \infty }\frac{3x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.6절 · 33번

# 무한대에서의 극한과 점근선계산자동 분류

19.OpenStax 1권 · 4.6절 · 17번우리말 번역

다음 문제에서 극한의 값을 구하세요.

$\lim_{x\to -\infty }\frac{\sqrt{4{x}^{2}-1}}{x+2}$

영어 원문 보기

For the following exercises, evaluate the limit.

$\lim_{x\to -\infty }\frac{\sqrt{4{x}^{2}-1}}{x+2}$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$-2$

원본 교재 풀이(영어)

$-2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.6절 · 55번

# 무한대에서의 극한과 점근선계산자동 분류

20.OpenStax 1권 · 4.6절 · 18번우리말 번역

다음 문제에서 극한의 값을 구하세요.

$\lim_{x\to \infty }\frac{4x}{\sqrt{{x}^{2}-1}}$

영어 원문 보기

For the following exercises, evaluate the limit.

$\lim_{x\to \infty }\frac{4x}{\sqrt{{x}^{2}-1}}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.6절 · 3번

# 무한대에서의 극한과 점근선계산자동 분류