무한대에서의 극한과 점근선 연습문제 — CLP-1 · 1.5절 · 28번

CLP-1 · 1.5절 · 28번우리말 번역

주사한 지 $t$ 시간 후 몸속에 있는 어떤 물질의 농도가 어떤 식 $c(t)$ 로 주어지고, $\displaystyle\lim_{t \rightarrow \infty} c(t) \neq 0$ 이라고 하자. 어떤 종류의 물질을 주사했을 수 있을까요?

영어 원문 보기

Suppose the concentration of a substance in your body $t$ hours after injection is given by some formula $c(t)$ , and $\displaystyle\lim_{t \rightarrow \infty} c(t) \neq 0$ . What kind of substance might have been injected?

정답·풀이 보기

그 물질이 장기적으로 남아 있는 양은 어떤 양수이다. 즉 그 물질은 계속 남아 있다. 이런 물질의 한 예가 문신의 잉크이다. (주사한 것이 약이었다면 아마 대사되어 $\displaystyle\lim_{t \rightarrow \infty} c(t)=0$ 일 것이다.)

참고: 사실 $t$ 를 무한대로 보내는 것은 그다지 의미가 없다. 수백만 시간이 지나면 몸조차 남아 있지 않을 텐데, 그렇다면 $c(t)$ 는 무엇을 재고 있는 것일까? 현실에서 식을 사용할 때는 흔히 그 식이 정해진 어떤 범위에서만 유효하다고 이해한다. $t$ 가 무한대로 갈 때의 극한은 그 함수의 장기적인 변화 양상을 대신 나타내는 것으로 자주 쓰인다.

원본 교재 풀이(영어)

The amount of the substance that will linger long-term is some positive number–the substance will stick around. One example of a substance that does this is the ink in a tattoo. (If the injection was of medicine, probably it will be metabolized, and $\displaystyle\lim_{t \rightarrow \infty} c(t)=0$ .)

Remark: it actually doesn't make much sense to let $t$ go to infinity: after a few million hours, you won't even have a body, so what is $c(t)$ measuring? Often when we use formulas in the real world, there is an understanding that they are only good for some fixed range. We often use the limit as $t$ goes to infinity as a stand-in for the function's long-term behaviour.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 4.6절 · 19번우리말 번역

다음 문제에서 극한의 값을 구하세요.

$\lim_{x\to -\infty }\frac{4x}{\sqrt{{x}^{2}-1}}$

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