함수의 연속 연습문제 — CLP-1 · 1.6절 · 4번

CLP-1 · 1.6절 · 4번우리말 번역

다음은 옳은 진술인지 판단하세요.

$f$ 가 구간 $[10,20]$ 에서 연속인 함수이고 $f(10)=13$ , $f(20)=-13$ 이라 하자. 그러면 $f$ 는 $x=10$ 과 $x=20$ 사이에서 영점을 갖는다.

영어 원문 보기

Is the following a valid statement?

Suppose $f$ is a continuous function over $[10,20]$ , $f(10)=13$ , and $f(20)=-13$ . Then $f$ has a zero between $x=10$ and $x=20$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

예. 이는 사잇값 정리를 그대로 적용한 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

Yes. This is a straightforward application of IVT.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 1.6절 · 28번우리말 번역

$f(x)$ 와 $g(x)$ 가 구간 $[a,b]$ 에서 연속인 함수이고 $f(a) \leq g(a)$ , $g(b)\leq f(b)$ 라 하자. $f(c)=g(c)$ 인 $c \in [a,b]$ 가 존재함을 보이세요.

다 풀었으면 정답 확인

$f(a)=g(a)$ 또는 $f(b)=g(b)$ 이면 단순히 $c=a$ 또는 $c=b$ 로 잡으면 된다.
$f(a) \neq g(a)$ 이고 $f(b) \neq g(b)$ 라 하자. 그러면 $f(a)<g(a)$ 이고 $g(b)<f(b)$ 이므로 $h(x)=f(x)-g(x)$ 로 정의하면 $h(a)<0$ 이고 $h(b)>0$ 이다. $h$ 는 $[a,b]$ 에서 연속인 두 함수의 차이므로 $h$ 도 $[a,b]$ 에서 연속이다. 따라서 사잇값 정리에 의해 $h(c)=0$ 인 $c \in (a,b)$ 가 존재한다. 즉, $f(c)=g(c)$ 이다.

# 함수의 연속계산기본자동 분류