함수의 연속 연습문제 — CLP-1 · 1.6절 · 28번

CLP-1 · 1.6절 · 28번우리말 번역

$f(x)$ 와 $g(x)$ 가 구간 $[a,b]$ 에서 연속인 함수이고 $f(a) \leq g(a)$ , $g(b)\leq f(b)$ 라 하자. $f(c)=g(c)$ 인 $c \in [a,b]$ 가 존재함을 보이세요.

영어 원문 보기

Suppose $f(x)$ and $g(x)$ are functions that are continuous over the interval $[a,b]$ , with $f(a) \leq g(a)$ and $g(b)\leq f(b)$ . Show that there exists some $c \in [a,b]$ with $f(c)=g(c)$ .

정답·풀이 보기

$f(a)=g(a)$ 또는 $f(b)=g(b)$ 이면 단순히 $c=a$ 또는 $c=b$ 로 잡으면 된다.
$f(a) \neq g(a)$ 이고 $f(b) \neq g(b)$ 라 하자. 그러면 $f(a)<g(a)$ 이고 $g(b)<f(b)$ 이므로 $h(x)=f(x)-g(x)$ 로 정의하면 $h(a)<0$ 이고 $h(b)>0$ 이다. $h$ 는 $[a,b]$ 에서 연속인 두 함수의 차이므로 $h$ 도 $[a,b]$ 에서 연속이다. 따라서 사잇값 정리에 의해 $h(c)=0$ 인 $c \in (a,b)$ 가 존재한다. 즉, $f(c)=g(c)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

If $f(a)=g(a)$ , or $f(b)=g(b)$ , then we simply take $c=a$ or $c=b$ .
Suppose $f(a) \neq g(a)$ and $f(b) \neq g(b)$ . Then $f(a)<g(a)$ and $g(b)<f(b)$ , so if we define $h(x)=f(x)-g(x)$ , then $h(a)<0$ and $h(b)>0$ . Since $h$ is the difference of two functions that are continuous over $[a,b]$ , also $h$ is continuous over $[a,b]$ . So, by the Intermediate Value Theorem, there exists some $c \in (a,b)$ with $h(c)=0$ ; that is, $f(c)=g(c)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 1.6절 · 9번우리말 번역

$\displaystyle \lim_{t \rightarrow 5}f(t)=17$ 이라 하자. $f(5)=17$ 은 참인지 거짓인지 답하세요.

다 풀었으면 정답 확인

일반적으로 거짓이다. $f(t)$ 가 $t=5$ 에서 연속이면 $f(5)=17$ 이다. 그러나 $f(t)$ 가 $t=5$ 에서 불연속이면 $f(5)$ 는 존재하지 않거나 17이 아닌 다른 수이다.

$\displaystyle \lim_{t \to 5}f(t)=17 \neq f(5)$ 인 함수의 예는 $f(t)=\left\{ \begin{array}{lcr} 17&,&t \neq 5\\ 0&,&t=5 \end{array} \right.$ 이며, 아래 그림과 같다.

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