함수의 연속

이 등식은 그냥 풀 수 있는 종류가 아니므로 요령이 필요하며, 그 요령이 바로 사잇값 정리이다. 기본 아이디어는 $\sin x$ 가 어떤 곳에서는 $x-1$ 보다 크고, 또 어떤 곳에서는 작음을 보이는 것이다. 그런데 사잇값 정리는 함수가 어떤 상수와 같아짐을 보여 줄 수 있을 뿐이므로, 표현을 약간 바꿔야 한다. $\sin x = x-1$ 임을 보이는 것은 $\sin x - x + 1 = 0$ 임을 보이는 것과 같으므로, $f(x)=\sin x - x +1$ 이라 하고 이 함수가 실근을 가짐을 보이자.

먼저 $f(x)$ 가 연속임에 주목해야 한다(그렇지 않으면 사잇값 정리를 쓸 수 없다). 이제 $f$ 의 값이 양수가 되는 $x$ 와 음수가 되는 $x$ 를 찾아야 한다. 몇 개의 값을 확인해 보면 $f(0)$ 은 양수이고 $f(100)$ 은 음수임을 알 수 있다. 따라서 사잇값 정리에 의해 $f(x)=0$ 이 되는 $x$ 의 값이 ($0$ 과 $100$ 사이에) 존재한다. 그러므로 $\sin x = x-1$ 을 만족하는 $x$ 의 값이 존재한다.