함수의 연속 연습문제 — CLP-1 · 1.6절 · 21번

CLP-1 · 1.6절 · 21번우리말 번역

$\sin x = x-1$ 을 만족하는 실수 $x$ 가 적어도 하나 존재함을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that there exists at least one real number $x$ satisfying $\sin x = x-1$

정답·풀이 보기

이 등식은 그냥 풀 수 있는 종류가 아니므로 요령이 필요하며, 그 요령이 바로 사잇값 정리이다. 기본 아이디어는 $\sin x$ 가 어떤 곳에서는 $x-1$ 보다 크고, 또 어떤 곳에서는 작음을 보이는 것이다. 그런데 사잇값 정리는 함수가 어떤 상수와 같아짐을 보여 줄 수 있을 뿐이므로, 표현을 약간 바꿔야 한다. $\sin x = x-1$ 임을 보이는 것은 $\sin x - x + 1 = 0$ 임을 보이는 것과 같으므로, $f(x)=\sin x - x +1$ 이라 하고 이 함수가 실근을 가짐을 보이자.

먼저 $f(x)$ 가 연속임에 주목해야 한다(그렇지 않으면 사잇값 정리를 쓸 수 없다). 이제 $f$ 의 값이 양수가 되는 $x$ 와 음수가 되는 $x$ 를 찾아야 한다. 몇 개의 값을 확인해 보면 $f(0)$ 은 양수이고 $f(100)$ 은 음수임을 알 수 있다. 따라서 사잇값 정리에 의해 $f(x)=0$ 이 되는 $x$ 의 값이 ( $0$ 과 $100$ 사이에) 존재한다. 그러므로 $\sin x = x-1$ 을 만족하는 $x$ 의 값이 존재한다.

원본 교재 풀이(영어)

This isn't the kind of equality that we can just solve; we'll need a trick, and that trick is the IVT. The general idea is to show that $\sin x$ is somewhere bigger, and somewhere smaller, than $x-1$ . However, since the IVT can only show us that a function is equal to a constant, we need to slightly adjust our language. Showing $\sin x = x-1$ is equivalent to showing $\sin x - x + 1 = 0$ , so let $f(x)=\sin x - x +1$ , and let's show that it has a real root.

First, we need to note that $f(x)$ is continuous (otherwise we can't use the IVT). Now, we need to find a value of $x$ for which it is positive, and for which it's negative. By checking a few values, we find $f(0)$ is positive, and $f(100)$ is negative. So, by the IVT, there exists a value of $x$ (between $0$ and $100$ ) for which $f(x)=0$ . Therefore, there exists a value of $x$ for which $\sin x = x-1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 1.6절 · 20번우리말 번역

다음 함수가 연속이 되도록 하는 $c$ 의 모든 값을 구하세요. $f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 6-cx & \text{일 때} & x\le 2c\\ x^2 & \text{일 때} & x> 2c \end{array}\right.$ 연속의 정의를 이용하여 답을 근거와 함께 설명하세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

두 구간의 식이 각각 다항식이므로 함수는 $x\ne 2c$ 에서 연속이다. 따라서 남은 문제는 함수가 $x=2c$ 에서 연속인지 여부뿐이며, 이를 위해서는 $\lim_{x\to 2c^-}f(x)=f(2c)=\lim_{x\to 2c+}f(x)$ 이어야 한다. 각각 계산하면 $\lim_{x\to 2c^-}f(x)=\lim_{x\to 2c^-}6-cx = 6-2c^2;$ $f(2c)=6-c\cdot 2c= 6-2c^2\text{이고}$ $\lim_{x\to 2c^+}f(x)=\lim_{x\to 2c^+}x^2=4c^2$ 이다. 따라서 $6-2c^2=4c^2$ 이어야 하므로 $c^2=1$ , 즉 $c=-1$ 또는 $c=1$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

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