함수의 연속 연습문제 — CLP-1 · 1.6절 · 10번

CLP-1 · 1.6절 · 10번우리말 번역

$f(x)$ 와 $g(x)$ 가 $x=0$ 에서 연속이고, $h(x)=\dfrac{xf(x)}{g^2(x)+1}$ 이라고 하자. $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} h(x)$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose $f(x)$ and $g(x)$ are continuous at $x=0$ , and let $h(x)=\dfrac{xf(x)}{g^2(x)+1}$ . What is $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} h(x)$ ?

정답·풀이 보기

$f(x)$ 와 $g(x)$ 가 0에서 연속이고 $g^2(x)+1$ 은 0이 될 수 없으므로, $h(x)$ 도 0에서 연속이다. 연속의 정의에 의해 $\displaystyle \lim_{x \to 0}h(x)$ 가 존재하고 그 값은 $h(0)=\frac{0f(0)}{g^2(0)+1}=0$ 이다.

극한 $\displaystyle \lim_{x \to 0}h(x)$ 가 존재하고 그 값이 0이므로, 우극한 $\displaystyle \lim_{x \to 0^+}h(x)$ 도 존재하고 그 값은 0이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since $f(x)$ and $g(x)$ are continuous at zero, and since $g^2(x)+1$ must be nonzero, then $h(x)$ is continuous at 0 as well. According to the definition of continuity, then $\displaystyle \lim_{x \to 0}h(x)$ exists and is equal to $h(0)=\frac{0f(0)}{g^2(0)+1}=0$ .

Since the limit $\displaystyle \lim_{x \to 0}h(x)$ exists and is equal to zero, also the one-sided limit $\displaystyle \lim_{x \to 0^+}h(x)$ exists and is equal to zero.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 1.6절 · 12번우리말 번역

사잇값 정리를 이용하여 함수 $f(x)=x^3+x^2+x+1$ 이 정의역에서 값 12345를 적어도 한 번 가짐을 보이세요.

다 풀었으면 정답 확인

$f$ 는 다항식이므로 모든 실수에서 연속이다. $f(0)=1<12345$ 이고 $f(12345)=12345^3+12345^2+12345+1>12345$ 이다(모든 항이 양수이므로). 따라서 사잇값 정리에 의해 $0$ 과 $12345$ 사이의 어떤 $c$ 에 대해 $f(c)=12345$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 함수의 연속계산기본자동 분류