함수의 연속 연습문제 — CLP-1 · 1.6절 · 12번

CLP-1 · 1.6절 · 12번우리말 번역

사잇값 정리를 이용하여 함수 $f(x)=x^3+x^2+x+1$ 이 정의역에서 값 12345를 적어도 한 번 가짐을 보이세요.

영어 원문 보기

Use the Intermediate Value Theorem to show that the function $f(x)=x^3+x^2+x+1$ takes on the value 12345 at least once in its domain.

정답·풀이 보기

$f$ 는 다항식이므로 모든 실수에서 연속이다. $f(0)=1<12345$ 이고 $f(12345)=12345^3+12345^2+12345+1>12345$ 이다(모든 항이 양수이므로). 따라서 사잇값 정리에 의해 $0$ 과 $12345$ 사이의 어떤 $c$ 에 대해 $f(c)=12345$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since $f$ is a polynomial, it is continuous over all real numbers. $f(0)=1<12345$ and $f(12345)=12345^3+12345^2+12345+1>12345$ (since all terms are positive). So by the IVT, $f(c)=12345$ for some $c$ between $0$ and $12345$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 1.6절 · 13번우리말 번역

함수가 연속인 모든 점을 설명하세요: $f(x)=\dfrac{1}{x^2-1}$ .

다 풀었으면 정답 확인

$f(x)$ 는 유리함수이므로 분모가 0인 경우를 제외하고 연속이다. 즉, $x=1$ 과 $x=-1$ 을 제외한 모든 점에서 연속이다.

이 문제로 이어서 풀기

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