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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 함수의 극한과 연속

함수의 연속

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-1 · 1.6절 · 17번우리말 번역

다음 함수가 x=cx=c 에서 연속이 되도록 하는 cc 의 값을 모두 구하세요: f(x)={8−cx일 때x≤cx2일 때x>cf(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 8-cx & \text{일 때} & x\le c\\ x^2 & \text{일 때} & x> c \end{array}\right. 연속의 정의를 이용하여 답을 정당화하세요.

영어 원문 보기

Find all values of cc such that the following function is continuous at x=cx=c: f(x)={8−cxifx≤cx2ifx>cf(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 8-cx & \text{if} & x\le c\\ x^2 & \text{if} & x> c \end{array}\right. Use the definition of continuity to justify your answer.

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두 구간의 식이 각각 다항식이므로 이 함수는 x≠cx\ne c 에서 연속이다. 따라서 문제는 x=cx=c 에서 연속인지 여부뿐이며, 이를 위해서는 lim⁡x→c−f(x)=f(c)=lim⁡x→c+f(x)\lim_{x\to c^-}f(x)=f(c)=\lim_{x\to c+}f(x) 이어야 한다. 계산하면 lim⁡x→c−f(x)=lim⁡x→c−8−cx=8−c2;\lim_{x\to c^-}f(x)=\lim_{x\to c^-}8-cx = 8-c^2; f(c)=8−c⋅c=8−c2 이고f(c)=8-c\cdot c= 8-c^2\text{ 이고} lim⁡x→c+f(x)=lim⁡x→c+x2=c2.\lim_{x\to c^+}f(x)=\lim_{x\to c^+}x^2=c^2. 따라서 8−c2=c28-c^2=c^2 이어야 하고, 이로부터 c2=4c^2=4, 즉 c=−2c=-2 또는 c=2c=2 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The function is continuous for x≠cx\ne c since each of those two branches are polynomials. So, the only question is whether the function is continuous at x=cx=c; for this we need lim⁡x→c−f(x)=f(c)=lim⁡x→c+f(x).\lim_{x\to c^-}f(x)=f(c)=\lim_{x\to c+}f(x). We compute lim⁡x→c−f(x)=lim⁡x→c−8−cx=8−c2;\lim_{x\to c^-}f(x)=\lim_{x\to c^-}8-cx = 8-c^2; f(c)=8−c⋅c=8−c2 andf(c)=8-c\cdot c= 8-c^2\text{ and} lim⁡x→c+f(x)=lim⁡x→c+x2=c2.\lim_{x\to c^+}f(x)=\lim_{x\to c^+}x^2=c^2. So, we need 8−c2=c28-c^2=c^2, which yields c2=4c^2=4, i.e. c=−2c=-2 or c=2c=2.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 1.6절 · 18번우리말 번역

다음 함수가 모든 점에서 연속이 되도록 하는 cc 의 값을 모두 구하세요:

f(x)={x2+cx≥0cos⁡cxx<0\begin{aligned} f(x) &= \begin{cases} x^2+c & x\geq 0\\ \cos cx & x< 0 \end{cases} \end{aligned}

연속의 정의를 이용하여 답을 정당화하세요.

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다 풀었으면 정답 확인

x2+cx^2+c 와 cos⁡cx\cos cx 가 모든 점에서 연속이므로 이 함수는 x≠0x \ne 0 에서 연속이다. 이제 x=0x=0 에서의 연속성을 확인해야 한다. 이를 위해 다음 세 값이 같음을 확인해야 한다.

lim⁡x→0+f(x)=lim⁡x→0+x2+c=cf(0)=clim⁡x→0−f(x)=lim⁡x→0−cos⁡cx=cos⁡0=1\begin{aligned} \lim_{x \to 0^+} f(x) &= \lim_{x\to 0^+} x^2+c = c\\ f(0) &= c \\ \lim_{x \to 0^-} f(x) &= \lim_{x\to 0^-} \cos cx = \cos 0 = 1 \end{aligned}

그러므로 c=1c=1 일 때 극한값들이 일치한다.

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