함수의 연속 연습문제 — CLP-1 · 1.6절 · 18번

CLP-1 · 1.6절 · 18번우리말 번역

다음 함수가 모든 점에서 연속이 되도록 하는 $c$ 의 값을 모두 구하세요:

$\begin{aligned} f(x) &= \begin{cases} x^2+c & x\geq 0\\ \cos cx & x< 0 \end{cases} \end{aligned}$

연속의 정의를 이용하여 답을 정당화하세요.

영어 원문 보기

Find all values of $c$ such that the following function is continuous everywhere:

$\begin{aligned} f(x) &= \begin{cases} x^2+c & x\geq 0\\ \cos cx & x< 0 \end{cases} \end{aligned}$

Use the definition of continuity to justify your answer.

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$x^2+c$ 와 $\cos cx$ 가 모든 점에서 연속이므로 이 함수는 $x \ne 0$ 에서 연속이다. 이제 $x=0$ 에서의 연속성을 확인해야 한다. 이를 위해 다음 세 값이 같음을 확인해야 한다.

$\begin{aligned} \lim_{x \to 0^+} f(x) &= \lim_{x\to 0^+} x^2+c = c\\ f(0) &= c \\ \lim_{x \to 0^-} f(x) &= \lim_{x\to 0^-} \cos cx = \cos 0 = 1 \end{aligned}$

그러므로 $c=1$ 일 때 극한값들이 일치한다.

원본 교재 풀이(영어)

The function is continuous for $x \ne 0$ since $x^2+c$ and $\cos cx$ are continuous everywhere. It remains to check continuity at $x=0$ . To do this we must check that the following three are equal.

$\begin{aligned} \lim_{x \to 0^+} f(x) &= \lim_{x\to 0^+} x^2+c = c\\ f(0) &= c \\ \lim_{x \to 0^-} f(x) &= \lim_{x\to 0^-} \cos cx = \cos 0 = 1 \end{aligned}$

Hence when $c=1$ we have the limits agree.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 1.6절 · 19번우리말 번역

다음 함수가 연속이 되도록 하는 $c$ 의 값을 모두 구하세요: $f(x) = \begin{cases} x^2-4 & \text{(}x< c\text{ 일 때)}\\ 3x & \text{(}x \ge c\text{ 일 때)}\,.\end{cases}$ 연속의 정의를 이용하여 답을 설명하세요.

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다 풀었으면 정답 확인

두 구간에서 함수는 각각 다항식으로 정의되므로 $x\ne c$ 에서 함수는 연속이다. 따라서 문제가 되는 것은 $x=c$ 에서 함수가 연속인지 여부뿐이다. 또한 $\lim_{x\to c^-}f(x) = c^2-4$ 이고 $\lim_{x\to c^+}f(x) = f(c) = 3c\,$ 이다. 연속이려면 두 극한과 함숫값이 모두 일치해야 하므로, $f$ 가 연속일 필요충분조건은 $c^2-4 = 3c$ 이다. 즉 필요충분조건은 $c^2-3c-4 = 0\,$ 이다. 이를 $(c-4)(c+1) = 0$ 으로 인수분해하면 $c=-1$ 또는 $c=+4$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

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