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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 함수의 극한과 연속

함수의 연속

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-1 · 1.6절 · 19번우리말 번역

다음 함수가 연속이 되도록 하는 cc 의 값을 모두 구하세요: f(x)={x2−4(x<c 일 때)3x(x≥c 일 때) .f(x) = \begin{cases} x^2-4 & \text{(}x< c\text{ 일 때)}\\ 3x & \text{(}x \ge c\text{ 일 때)}\,.\end{cases} 연속의 정의를 이용하여 답을 설명하세요.

영어 원문 보기

Find all values of cc such that the following function is continuous: f(x)={x2−4if x<c3xif x≥c .f(x) = \begin{cases} x^2-4 & \text{if } x< c\\ 3x & \text{if } x \ge c\,. \end{cases} Use the definition of continuity to justify your answer.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

두 구간에서 함수는 각각 다항식으로 정의되므로 x≠cx\ne c 에서 함수는 연속이다. 따라서 문제가 되는 것은 x=cx=c 에서 함수가 연속인지 여부뿐이다. 또한 lim⁡x→c−f(x)=c2−4\lim_{x\to c^-}f(x) = c^2-4 이고 lim⁡x→c+f(x)=f(c)=3c \lim_{x\to c^+}f(x) = f(c) = 3c\, 이다. 연속이려면 두 극한과 함숫값이 모두 일치해야 하므로, ff 가 연속일 필요충분조건은 c2−4=3cc^2-4 = 3c 이다. 즉 필요충분조건은 c2−3c−4=0 c^2-3c-4 = 0\, 이다. 이를 (c−4)(c+1)=0(c-4)(c+1) = 0 으로 인수분해하면 c=−1c=-1 또는 c=+4c=+4 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The function is continuous for x≠cx\ne c since each of those two branches are defined by polynomials. Thus, the only question is whether the function is continuous at x=cx=c. Furthermore, lim⁡x→c−f(x)=c2−4\lim_{x\to c^-}f(x) = c^2-4 and lim⁡x→c+f(x)=f(c)=3c .\lim_{x\to c^+}f(x) = f(c) = 3c\,. For continunity we need both limits and the value to agree, so ff is continuous if and only if c2−4=3cc^2-4 = 3c, that is if and only if c2−3c−4=0 .c^2-3c-4 = 0\,. Factoring this as (c−4)(c+1)=0(c-4)(c+1) = 0 yields c=−1c=-1 or c=+4c=+4.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 2.4절 · 31번우리말 번역

다음 각 명제가 참인지 판단하세요. 설명이나 반례로 답을 뒷받침하세요.

f(t)=2et−e−tf(t)=\frac{2}{{e}^{t}-{e}^{-t}} 는 모든 곳에서 연속이다.

다 풀었으면 정답 확인

거짓. (−∞,0)∪(0,∞)(-\infty ,0)\cup (0,\infty ) 에서 연속이다.

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