함수의 연속 연습문제 — CLP-1 · 1.6절 · 22번

CLP-1 · 1.6절 · 22번우리말 번역

$3^c=c^2$ 을 만족하는 실수 $c$ 가 적어도 하나 존재함을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that there exists at least one real number $c$ such that $3^c=c^2$ .

정답·풀이 보기

$f(x)=3^x-x^2$ 이라 하자. $3^x$ 과 $x^2$ 은 모든 실수에서 연속이므로 $f(x)$ 는 연속함수이다.

$f(a)>0$ 인 값 $a$ 를 찾는다. 바로 $a=0$ 이 조건을 만족함을 알 수 있다. 왜냐하면 $f(0)=3^0-0=1>0$ 이기 때문이다.

$f(b)<0$ 인 값 $b$ 를 찾는다. $b=-1$ 이 조건을 만족한다. 왜냐하면 $f(-1)=\frac{1}{3}-1<0$ 이기 때문이다.

따라서 $f(x)$ 는 $(-\infty, \infty)$ 에서 연속이고 $f(0)>0$ 이면서 $f(-1)<0$ 이므로, 사잇값 정리에 의해 $f(c)=0$ 인 실수 $c$ 가 구간 $(-1,0)$ 에 존재한다.

원본 교재 풀이(영어)

We let $f(x)=3^x-x^2$ . Then $f(x)$ is a continuous function, since both $3^x$ and $x^2$ are continuous for all real numbers.

We find a value $a$ such that $f(a)>0$ . We observe immediately that $a=0$ works since $f(0)=3^0-0=1>0.$

We find a value $b$ such that $f(b)<0$ . We see that $b=-1$ works since $f(-1)=\frac{1}{3}-1<0.$

So, because $f(x)$ is continuous on $(-\infty, \infty)$ and $f(0)>0$ while $f(-1)<0$ , then the Intermediate Value Theorem guarantees the existence of a real number $c$ in the interval $(-1,0)$ such that $f(c)=0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 1.6절 · 25번우리말 번역

다음을 만족하는 실수 $c$ 가 적어도 하나 존재함을 보이세요. $\dfrac{1}{(\cos\pi c)^2} = c+\dfrac{3}{2}$ .

다 풀었으면 정답 확인

$f(x)=\dfrac{1}{\cos^2(\pi x)}-x-\dfrac{3}{2}$ 라 하자. 그러면 $\cos x$ 는 모든 곳에서 연속이고 구간 $(-1/2, 1/2)$ 에서 0이 아니므로, $f(x)$ 는 그 구간에서 연속인 함수이다.

함수 $f$ 는 음수 값을 갖는다. 예를 들어 $x=0$ 일 때:

$\begin{aligned} f(0) &= \frac{1}{\cos^2(0)} - 0 - \frac{3}{2} = 1-\frac{3}{2} = -\frac{1}{2} <0. \end{aligned}$

또한 양수 값도 갖는다. 예를 들어 $x=1/4$ 일 때:

$\begin{aligned} f(1/4) &= \frac{1}{(\cos \pi/4)^2} - \frac{1}{4} - \frac{3}{2} \\ &= \frac{1}{1/2} - \frac{1+6}{4} \\ &= 2 - 7/4 = 1/4 >0. \end{aligned}$

사잇값 정리에 의해 $0<c<1/4$ 이고 $f(c)=0$ 인 $c$ 가 존재하며, 이때

$\begin{aligned} \dfrac{1}{(\cos\pi c)^2} = c+\dfrac{3}{2}. \end{aligned}$

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