함수의 연속 연습문제 — CLP-1 · 1.6절 · 25번

CLP-1 · 1.6절 · 25번우리말 번역

다음을 만족하는 실수 $c$ 가 적어도 하나 존재함을 보이세요. $\dfrac{1}{(\cos\pi c)^2} = c+\dfrac{3}{2}$ .

영어 원문 보기

Show that there exists at least one real number $c$ such that $\dfrac{1}{(\cos\pi c)^2} = c+\dfrac{3}{2}$ .

정답·풀이 보기

$f(x)=\dfrac{1}{\cos^2(\pi x)}-x-\dfrac{3}{2}$ 라 하자. 그러면 $\cos x$ 는 모든 곳에서 연속이고 구간 $(-1/2, 1/2)$ 에서 0이 아니므로, $f(x)$ 는 그 구간에서 연속인 함수이다.

함수 $f$ 는 음수 값을 갖는다. 예를 들어 $x=0$ 일 때:

$\begin{aligned} f(0) &= \frac{1}{\cos^2(0)} - 0 - \frac{3}{2} = 1-\frac{3}{2} = -\frac{1}{2} <0. \end{aligned}$

또한 양수 값도 갖는다. 예를 들어 $x=1/4$ 일 때:

$\begin{aligned} f(1/4) &= \frac{1}{(\cos \pi/4)^2} - \frac{1}{4} - \frac{3}{2} \\ &= \frac{1}{1/2} - \frac{1+6}{4} \\ &= 2 - 7/4 = 1/4 >0. \end{aligned}$

사잇값 정리에 의해 $0<c<1/4$ 이고 $f(c)=0$ 인 $c$ 가 존재하며, 이때

$\begin{aligned} \dfrac{1}{(\cos\pi c)^2} = c+\dfrac{3}{2}. \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We let $f(x)=\dfrac{1}{\cos^2(\pi x)}-x-\dfrac{3}{2}$ . Then $f(x)$ is a continuous function on the interval $(-1/2, 1/2)$ since $\cos x$ is continuous everywhere and non-zero on that interval.

The function $f$ takes negative values. For example, when $x=0$ :

$\begin{aligned} f(0) &= \frac{1}{\cos^2(0)} - 0 - \frac{3}{2} = 1-\frac{3}{2} = -\frac{1}{2} <0. \end{aligned}$

It also takes positive values, for instance when $x=1/4$ :

$\begin{aligned} f(1/4) &= \frac{1}{(\cos \pi/4)^2} - \frac{1}{4} - \frac{3}{2} \\ &= \frac{1}{1/2} - \frac{1+6}{4} \\ &= 2 - 7/4 = 1/4 >0. \end{aligned}$

By the IVT there is $c$ , $0<c<1/4$ such that $f(c)=0$ , in which case

$\begin{aligned} \dfrac{1}{(\cos\pi c)^2} = c+\dfrac{3}{2}. \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 1.6절 · 24번우리말 번역

다음을 만족하는 실수 c 가 적어도 하나 존재함을 보이세요. $\sqrt{\cos(\pi c)} = \sin(2 \pi c) + \frac{1}{2}$ .

다 풀었으면 정답 확인

$f(x) = \sqrt{\cos(\pi x)} - \sin(2\pi x) -1/2$ 라 하자. 이 함수는 $\cos(\pi x)\geq 0$ 인 범위에서 연속이다. 이는 $0 \leq x \leq \frac{1}{2}$ 에서 성립한다.

이제 $f$ 는 $[0,1/2]$ 에서 양수 값을 갖는다:

$\begin{aligned} f(0) &= \sqrt{\cos(0)} - \sin(0) -1/2 = \sqrt{1} -1/2 = 1/2. \end{aligned}$

또한 $f$ 는 $[0,1/2]$ 에서 음수 값도 갖는다:

$\begin{aligned} f(1/2) &= \sqrt{\cos(\pi/2)}-\sin(\pi)-1/2 = 0-0-1/2 = -1/2 \end{aligned}$

( $f(1/3)=(\sqrt{2}-\sqrt{3})/2-1/2$ 도 마찬가지로 성립함에 주목하자.)

따라서 $f(x)$ 가 $[0,1/2)$ 에서 연속이고 $f(0)>0$ 이면서 $f(1/2)<0$ 이므로, 사잇값 정리에 의해 $f(c)=0$ 인 실수 $c\in (0,1/2)$ 가 존재한다.

이 문제로 이어서 풀기

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