접선의 방정식 연습문제 — CLP-1 · 2.1절 · 5번

CLP-1 · 2.1절 · 5번우리말 번역

아래 그래프에 $y=f(x)$ 의 $P$ 에서의 접선을 그리세요. 그런 다음, $Q$ 와 $R$ 을 지나는 할선의 기울기가 $P$ 에서의 접선의 기울기와 같도록 그래프 위의 두 점 $Q$ 와 $R$ 을 찾으세요.

영어 원문 보기

On the graph below, sketch the tangent line to $y=f(x)$ at $P$ . Then, find two points $Q$ and $R$ on the graph so that the secant line through $Q$ and $R$ has the same slope as the tangent line at $P$ .

정답·풀이 보기

$f(x)$ 의 $P$ 에서의 접선은 (파란색으로 나타낸) 하나뿐이지만, $Q$ 와 $R$ 을 잡는 방법은 무수히 많다(빨간색으로 나타낸 것은 그중 한 가지이다). 종이 위에 할선을 쉽게 그리는 한 가지 방법은 접선과 평행한 직선을 아무거나 그은 다음, 그 직선과 $y=f(x)$ 가 만나는 두 점을 고르는 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

There is only one tangent line to $f(x)$ at $P$ (shown in blue), but there are infinitely many choices of $Q$ and $R$ (one possibility shown in red). One easy way to sketch the secant line on paper is to draw any line parallel to the tangent line, and choose two intercepts with $y=f(x)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.1절 · 4번우리말 번역

아래 그래프에서 점 $x=5$ 에서의 접선의 기울기를 가능한 한 정확하게 어림하세요.

다 풀었으면 정답 확인

그래프에서 $f(5)=0.5$ 로 어림하는 것이 적절하다. 두 끝점이 모두 $x=5$ 에 매우 가까우면서 $y$ 값도 분명하게 읽히는 할선을 찾아야 한다. $f(5.25) \approx 1$ , $f(4.75)\approx \frac{1}{8}$ 로 보인다. $x=5$ 에서 $x=5.25$ 까지의 할선의 기울기는 대략 $\dfrac{f(5.25)-f(5)}{5.25-5}\approx \dfrac{1-.5}{.25}=2$ 이다. $x=5$ 에서 $x=4.75$ 까지의 할선의 기울기는 $\dfrac{0.5-\frac{1}{8}}{5-4.75}=\dfrac{3}{2}$ 이다.

그래프는 점점 더 빠르게 증가하므로(점점 더 가팔라지므로) $x=5$ 의 왼쪽에 있는 할선의 기울기가 $x=5$ 의 오른쪽에 있는 할선의 기울기보다 작은 것은 자연스럽다. 또 $x=5$ 에서 더 멀리 떨어진 곳에 끝점이 있는 할선을 잡으면 할선의 기울기가 상당히 크게 달라지는 것을 알 수 있다. 어느 정도 정확한 값을 얻으려면 $x=5$ 에 아주 가까워야 한다.

두 값의 중간을 택하면, 할선의 기울기를 $\frac{3}{2}$ 과 $2$ 의 평균인 $\frac{7}{4}$ 로 어림할 수 있다.

접선을 구하는 또 다른 방법은 자를 대고 접선을 정확하게 직접 그려 보는 것이다. 아래 그림에 파란색으로 나타내었다.

곡선보다 직선의 기울기를 구하는 것이 훨씬 쉽고, 이 직선의 기울기는 약 1.5 로 보인다. 하지만 이 그림은 컴퓨터로 그린 것이며, 손으로 정확한 접선을 그리기는 훨씬 어렵다. (그래서 미적분이 필요하다!)

$x=5$ 에서 이 함수의 접선의 실제 기울기는 약 $1.484$ 이다. 그래프만 보고 이 값을 알아내기는 매우 어렵다. 손으로 구할 때는 $1.25$ 와 $1.75$ 사이의 값으로 추측하면 매우 정확한 것이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 접선의 방정식그래프·표 해석보통자동 분류