역삼각함수의 미분 연습문제 — CLP-1 · 2.12절 · 11번

CLP-1 · 2.12절 · 11번대학 수준우리말 번역

$y=\arctan (x^2)$ 의 접선이 수평이 되는 $x$ 의 값을 모두 구하세요.

영어 원문 보기

For which values of $x$ is the tangent line to $y=\arctan (x^2)$ horizontal?

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연쇄 법칙을 이용하여 미분한다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\arctan(x^2)\}&=\frac{2x}{1+x^4} \end{aligned}$

이 값이 0이 되는 것은 $x=0$ 일 때뿐이다.

원본 교재 풀이(영어)

We differentiate using the chain rule:

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\arctan(x^2)\}&=\frac{2x}{1+x^4} \end{aligned}$

This is zero exactly when $x=0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.12절 · 12번우리말 번역

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\arcsin x + \arccos x\}$ 의 값을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

이 절에서 외워 두어야 할 공식을 이용하면, $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\arcsin x + \arccos x\}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}=0$

참고: 도함수가 모든 곳에서 0인 함수는 상수 함수뿐이므로, $\arcsin x + \arccos x$ 는 상수이어야 한다. $\sin \theta = \cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)$ 이므로 다음과 같이 놓을 수 있다.

$\begin{aligned} \sin\theta&=x & \cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)&=x\\ \text{여기서 $x$ 와 $\theta$ 는 두 식에서 서로 같고, $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ 이다. 그러면} \\ \arcsin x &=\theta & \arccos x &= \frac{\pi}{2}-\theta \\ \text{여기서 아크사인은 사인 함수를 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 로 \textit{ 제한한} 함수의 역함수임에 주의한다. 따라서 $\theta$ 를 이 정의역으로 제한했으므로 $\sin \theta=x$ 이면 실제로 $\arcsin x = \theta$ 이다. (이것이 왜 중요한지 보여 주는 예로, $\sin(2\pi)=0$ 이지만 $\arcsin (0)=0 \neq 2\pi$ 이다.) 마찬가지로 아크코사인은 코사인 함수를 $[0,\pi]$ 로 제한한 함수의 역함수이다. $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ 이면 $0 \leq (\frac{\pi}{2}-\theta) \leq \pi$ 이므로, $\cos\left(\frac{\pi}{2}- \theta\right) =x$ 이면 실제로 $\arccos x=\frac{\pi}{2}-\theta$ 이다.} \\ \end{aligned}$

따라서 $\arcsin x+\arccos x =\theta+\frac{\pi}{2}-\theta =\frac{\pi}{2}$ 이므로, 우리가 계산하던 도함수는 사실 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\dfrac{\pi}{2}\right\}=0$ 일 뿐이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 역삼각함수의 미분계산보통자동 분류