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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 극한·미분 심화

역삼각함수의 미분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-1 · 2.12절 · 13번대학 수준우리말 번역

y=arcsin⁡ ⁣(1x)y=\arcsin \!\big(\frac{1}{x}\big) 의 도함수를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the derivative of y=arcsin⁡ ⁣(1x)y=\arcsin \!\big(\frac{1}{x}\big).

정답·풀이 보기

연쇄 법칙을 이용하면, y′=−1x21−(1x)2=−1x21−1x2.y'=\frac{-{\frac{1}{ x^2}}}{\sqrt{1-\left({\frac{1}{ x}}\right)^2}}=\frac{-1}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}.

원본 교재 풀이(영어)

Using the chain rule, y′=−1x21−(1x)2=−1x21−1x2.y'=\frac{-{\frac{1}{ x^2}}}{\sqrt{1-\left({\frac{1}{ x}}\right)^2}}=\frac{-1}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.12절 · 3번우리말 번역

곡선 y=f(x)y=f(x) 가 아래에 있다. 이는 어떤 함수 ff 의 그래프이다. ff 를 00 을 포함하면서 일대일함수가 되는 가장 큰 구간으로 제한하고, 곡선 y=f−1(x)y=f^{-1}(x) 의 그래프를 그리세요.

그림

다 풀었으면 정답 확인

먼저 ff 가 일대일함수가 되도록 ff 의 정의역을 제한한다. ff 가 일대일함수가 되는 구간은 여러 가지를 택할 수 있지만, 문제에서는 x=0x=0 을 포함하면서 가능한 한 큰 구간을 택하라고 하였으므로, 제한된 함수는 다음과 같다.

그림

역함수는 입력과 출력의 역할을 서로 바꾼다. 따라서 y=f(x)y=f(x) 의 그래프가 점 (a,b)(a,b) 를 지나면 Y=f−1(X)Y=f^{-1}(X) 의 그래프는 점 (b,a)(b,a) 를 지난다. 즉, Y=f−1(X)Y=f^{-1}(X) 의 그래프는 y=f(x)y=f(x) 의 그래프에서 xx 좌표와 yy 좌표를 서로 바꾼 것이다. (그러므로 y=f(x)y=f(x) 가 yy 축과 y=1y=1 에서 만나므로 Y=f−1(X)Y=f^{-1}(X) 는 XX 축과 X=1X=1 에서 만난다.) 이렇게 바꾸는 것은 곡선 y=f(x)y=f(x) 를 직선 y=xy=x 에 대하여 대칭이동하는 것과 같다.

그림

참고: 역함수에 익숙해지는 동안에는 y=f(x)y=f(x) 와 Y=f−1(X)Y=f^{-1}(X) 처럼, xx (ff 의 입력이므로 f−1f^{-1} 의 출력)와 XX (f−1f^{-1} 의 입력이며 ff 의 출력에서 나온 값)를 약간 다른 기호로 나타내어 생각하는 것이 더 명확할 때가 있다. 그러나 관례상 두 함수 모두 입력에는 xx 를, 출력에는 yy 를 쓰며, 위의 그래프에도 그렇게 적혀 있다.

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# 역삼각함수의 미분계산보통자동 분류

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