역삼각함수의 미분 연습문제 — CLP-1 · 2.12절 · 20번

CLP-1 · 2.12절 · 20번대학 수준우리말 번역

$f(x) = x + \cos x$ 라 하고, $g(y) = f^{-1}(y)$ 를 역함수라 하자. $g'(y)$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

Let $f(x) = x + \cos x$ , and let $g(y) = f^{-1}(y)$ be the inverse function. Determine $g'(y)$ .

정답·풀이 보기

$g(y)=f^{-1}(y)$ 이므로

$\begin{aligned} f(g(y))&=f\left(f^{-1}(y)\right)=y \\ \text{이제 연쇄 법칙을 이용하여 $y$ 에 대해 미분할 수 있다.} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\left\{f(g(y))\right\}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\{y\}\\ f'(g(y))\cdot g'(y)&=1\\ g'(y)&=\frac{1}{f'(g(y))}=\frac{1}{1-\sin g(y)} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Since $g(y)=f^{-1}(y)$ ,

$\begin{aligned} f(g(y))&=f\left(f^{-1}(y)\right)=y \\ \text{Now, we can differentiate with respect to $y$ using the chain rule.} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\left\{f(g(y))\right\}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\{y\}\\ f'(g(y))\cdot g'(y)&=1\\ g'(y)&=\frac{1}{f'(g(y))}=\frac{1}{1-\sin g(y)} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.12절 · 23번우리말 번역

$f(x)=[\sin x +2]^{\mathop{\mathrm{arcsec}} x}$ 을 미분하세요. 이 함수의 정의역은 무엇인가요?

다 풀었으면 정답 확인

$(\text{function})^{\text{function}}$ 꼴의 식을 미분하는 표준적인 방법인 로그미분법을 사용한다.

$\begin{aligned} f(x)&=[\sin x +2]^{\mathop{\mathrm{arcsec}} x}\\ \log(f(x))&=\mathop{\mathrm{arcsec}} x \cdot \log[\sin x +2]\\ \frac{f'(x)}{f(x)}&=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\log[\sin x +2]+\mathop{\mathrm{arcsec}} x \cdot \frac{\cos x}{\sin x +2}\\ f'(x)&=[\sin x +2]^{\mathop{\mathrm{arcsec}} x}\left(\frac{\log[\sin x +2]}{|x|\sqrt{x^2-1}}+ \frac{\mathop{\mathrm{arcsec}} x \cdot\cos x}{\sin x +2}\right) \end{aligned}$

$\mathop{\mathrm{arcsec}} x$ 의 정의역은 $|x| \geq 1$ 이다. 모든 $x$ 에 대해 $\sin x +2$ 는 양수이고, 양수는 어떤 거듭제곱이든 할 수 있다. (음수는 아무 거듭제곱이나 할 수 있는 것이 아님을 떠올리자. 예를 들어 $(-1)^{1/2}=\sqrt{-1}$ 은 실수가 아니다.) 따라서 $f(x)$ 의 정의역은 $|x| \geq 1$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 역삼각함수의 미분계산도전자동 분류