역삼각함수의 미분 연습문제 — CLP-1 · 2.12절 · 25번

CLP-1 · 2.12절 · 25번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle \lim_{x\to 1}\left( (x-1)^{-1}\left(\arctan x - \frac{\pi}{4}\right)\right)$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle \lim_{x\to 1}\left( (x-1)^{-1}\left(\arctan x - \frac{\pi}{4}\right)\right).$

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정답·풀이 보기

이 극한은 함수 $f(x)=\arctan x$ 의 $x=1$ 에서의 미분계수를 나타낸다. 이는 $a=1$ 에서의 미분계수의 정의를 이용하면 바로 알 수 있다:

$\begin{aligned} \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)\}\right|_{a} &= \lim_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\\ \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\arctan x\}\right|_{1} &=\lim_{x\to1} \frac{\arctan x-\arctan 1}{x-1}\\ &=\lim_{x\to1} \frac{\arctan x-\frac{\pi}{4}}{x-1}\\ &=\displaystyle \lim_{x\to 1}\left( (x-1)^{-1}\left(\arctan x - \frac{\pi}{4}\right)\right). \end{aligned}$

$f(x)$ 의 도함수가 $\dfrac{1}{1+x^2}$ 이므로, $x=1$ 에서의 값은 정확히 $\dfrac{1}{2}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

This limit represents the derivative computed at $x=1$ of the function $f(x)=\arctan x$ . To see this, simply use the definition of the derivative at $a=1$ :

Since the derivative of $f(x)$ is $\dfrac{1}{1+x^2}$ , its value at $x=1$ is exactly $\dfrac{1}{2}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.12절 · 24번우리말 번역

아크사인의 도함수가 $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 인지 $\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ 인지 기억나지 않는다고 하자. 아크사인의 정의역을 통해 이 둘 중 하나가 틀렸음을 알 수 있는 이유를 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

함수 $\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ 은 $x^2-1>0$ 인 $x$ 의 값에 대해서만 존재한다. 즉, $\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ 의 정의역은 $|x|>1$ 이다. 그런데 아크사인의 정의역은 $|x| \leq 1$ 이다. 따라서 $\arcsin x$ 와 $\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ 이 모두 정의되는 $x$ 의 값은 단 하나도 없다.

만약 $\arcsin(x)$ 의 도함수가 $\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ 이라면, $\arcsin(x)$ 의 도함수는 어디에도 존재하지 않게 된다. 그렇다면 정의역이 맞지 않는 함수를 지어내는 대신 아마도 그냥 “도함수가 존재하지 않는다”라고 썼을 것이다. 또한 함수 $f(x)=\arcsin(x)$ 는 매끄러운 곡선이어서, 정의역의 끝점이 아닌 안쪽의 모든 점에서 도함수가 존재한다. (모든 곡선이 이런 것은 아님을 기억하자. 예를 들어 $g(x)=|x|$ 는 $x=0$ 에서 미분계수가 존재하지 않는데, $x=0$ 은 정의역의 끝점이 아닌 안쪽에 있는 점이다.) 그러므로 아크사인의 도함수는 $\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ 이 아니라고 보는 것이 매우 타당하다.

이 문제로 이어서 풀기

# 역삼각함수의 미분계산도전자동 분류