역삼각함수의 미분

• 풀이 1: 음함수 미분법으로 시작한다. 관례에 따라 $y'$ 은 $y'(x)$ 를 뜻하는 것으로 쓴다.

$$\begin{aligned} \arcsin(x+2y)&=x^2+y^2 \qquad\text{연쇄법칙을 이용하면:}\\ \frac{1+2y'}{\sqrt{1-(x+2y)^2}}&=2x+2yy'\\ \frac{1}{\sqrt{1-(x+2y)^2}}+\frac{2y'}{\sqrt{1-(x+2y)^2}}&=2x+2yy'\\ \frac{2y'}{\sqrt{1-(x+2y)^2}}-2yy'&=2x-\frac{1}{\sqrt{1-(x+2y)^2}}\\ y'\left(\frac{2}{\sqrt{1-(x+2y)^2}}-2y\right)&=2x-\frac{1}{\sqrt{1-(x+2y)^2}}\\ y'&=\frac{2x-\frac{1}{\sqrt{1-(x+2y)^2}}}{\frac{2}{\sqrt{1-(x+2y)^2}}-2y} \left(\frac{\sqrt{1-(x+2y)^2}}{\sqrt{1-(x+2y)^2}}\right)\\ y'&=\frac{2x\sqrt{1-(x+2y)^2}-1}{2-2y\sqrt{1-(x+2y)^2}} \end{aligned}$$

• 풀이 2: 먼저 등식의 양변에 사인을 취한다.

$$\begin{aligned} \arcsin(x+2y)&=x^2+y^2\\ x+2y&=\sin(x^2+y^2) \\ \text{이제 음함수 미분을 한다.} \\ 1+2y'&=\cos(x^2+y^2)\cdot(2x+2yy')\\ 1+2y'&=2x\cos(x^2+y^2)+2yy'\cos(x^2+y^2)\\ 2y'-2yy'\cos(x^2+y^2)&=2x\cos(x^2+y^2)-1\\ y'\left(2-2y\cos(x^2+y^2)\right)&=2x\cos(x^2+y^2)-1\\ y'&=\frac{2x\cos(x^2+y^2)-1}{2-2y\cos(x^2+y^2)} \end{aligned}$$

• 두 가지 다른 방법을 사용하여 꽤 달라 보이는 두 개의 답을 얻었다. 그러나 두 답은 같아야 한다. 이를 확인하기 위해, 우리가 다루는 모든 $x$ 와 $y$ 의 값(곡선의 정의역에 속하는 순서쌍 $(x,y)$)에 대해 등식 $$\arcsin(x+2y)=x^2+y^2$$ 이 성립함을 기억하자. 삼각형을 그리면 다음과 같다.

여기서 (빨간색으로 표시한) 밑변의 길이는 피타고라스 정리로부터 구한 것이다. 그러면 $\cos(x^2+y^2)=\sqrt{1-(x+2y)^2}$ 이므로, 풀이 2의 결과에 대입하면 다음과 같다.

$$\begin{aligned} y'&=\frac{2x\cos(x^2+y^2)-1}{2-2y\cos(x^2+y^2)}\\ &=\frac{2x\sqrt{1-(x+2y)^2}-1}{2-2y\sqrt{1-(x+2y)^2}} \end{aligned}$$

이는 풀이 1의 답과 정확히 같다.