이계도함수와 오목·볼록 연습문제 — CLP-1 · 2.14절 · 5번

CLP-1 · 2.14절 · 5번우리말 번역

$f(x)=(\log x-1)x$ 라 하자. $f''(x)$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Let $f(x)=(\log x-1)x$ . Evaluate $f''(x)$ .

정답·풀이 보기

$\begin{aligned} f(x)&=x\log x -x\\ f'(x)&=\log x +x\cdot\frac{1}{x}-1\\ &=\log x\\ f''(x)&=\frac{1}{x} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

$\begin{aligned} f(x)&=x\log x -x\\ f'(x)&=\log x +x\cdot\frac{1}{x}-1\\ &=\log x\\ f''(x)&=\frac{1}{x} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.14절 · 4번우리말 번역

다음 풀이에서 잘못된 부분을 찾고, 바르게 고친 답을 구하세요.

$-14x^2+2xy+y^2=1$ 이라 하자. 점 $\left(1,3\right)$ 에서 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}{x}^2}$ 을 구한다. 음함수 미분하면:

$\begin{aligned} -28x+2y+2xy'+2yy'&=0 \\ \text{$x=1$, $y=3$ 을 대입하면:} \\ -28+6+2y'+6y'&=0\\ y'&=\frac{11}{4} \\ \text{미분하면:} \\ y''&=0 \end{aligned}$

다 풀었으면 정답 확인

도함수 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 의 값이 $\dfrac{11}{4}$ 인 것은 점 $(1,3)$ 에서뿐이다. 즉 미분계수가 항상 $\dfrac{11}{4}$ 인 것이 아니므로, 상수 $\dfrac{11}{4}$ 을 미분하여 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}{x}^2}$ 을 구한 것은 잘못이다. 올바른 풀이는 다음과 같다.

$\begin{aligned} -28x+2y+2xy'+2yy'&=0 \\ \text{$x=1$, $y=3$ 을 대입하면:} \\ -28+6+2y'+6y'&=0\\ y'&=\frac{11}{4} \quad\text{ 점 $(1,3)$ 에서} \\ \text{식 $-28x+2y+2xy'+2yy'=0$ 을 미분하면:} \\ -28+2y'+2y'+2xy''+2y'y'+2yy''&=0\\ 4y'+2(y')^2+2xy''+2yy''&=28 \\ \text{점 $(1,3)$ 에서 $y'=\dfrac{11}{4}$ 이다. 대입하면:} \\ 4\left(\frac{11}{4}\right)+2\left(\frac{11}{4}\right)^2+2(1)y''+2(3)y''&=28\\ y''&=\frac{15}{64} \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 이계도함수와 오목·볼록계산보통자동 분류