이계도함수와 오목·볼록 연습문제 — CLP-1 · 2.14절 · 8번

CLP-1 · 2.14절 · 8번우리말 번역

시각 $t$ 에서 입자의 위치가 $s(t) = \dfrac{e^t}{t^2+1}$ 로 주어진다고 하자. 시각 $t=1$ 에서 입자의 가속도를 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose the position of a particle at time $t$ is given by $s(t) = \dfrac{e^t}{t^2+1}$ . Find the acceleration of the particle at time $t=1$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

문제는 $s''(1)$ 을 구하는 것이다. 몫의 미분법을 사용하여 미분을 시작한다.

$\begin{aligned} s'(t)&=\frac{e^t(t^2+1)-e^t(2t)}{(t^2+1)^2}\\ &=\frac{e^t(t^2-2t+1)}{(t^2+1)^2} \\ \text{몫의 미분법을 다시 사용하면,} \\ s''(t)&=\frac{(t^2+1)^2 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\{e^t(t^2-2t+1)\}-e^t(t^2-2t+1) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\{(t^2+1)^2\}}{(t^2+1)^4}\\ &=\frac{(t^2+1)^2\cdot\left[ e^t(2t-2)+e^t(t^2-2t+1)\right]- e^t(t^2-2t+1) \cdot 2(t^2+1)(2t)}{(t^2+1)^4}\\ &=\frac{e^t(t^2+1)^2(t^2-1)-4te^t(t-1)^2(t^2+1)}{(t^2+1)^4}\\ s''(1)&=0 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The question asks for $s''(1)$ . We start our differentiation using the quotient rule:

$\begin{aligned} s'(t)&=\frac{e^t(t^2+1)-e^t(2t)}{(t^2+1)^2}\\ &=\frac{e^t(t^2-2t+1)}{(t^2+1)^2} \\ \text{Using the quotient rule again,} \\ s''(t)&=\frac{(t^2+1)^2 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\{e^t(t^2-2t+1)\}-e^t(t^2-2t+1) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\{(t^2+1)^2\}}{(t^2+1)^4}\\ &=\frac{(t^2+1)^2\cdot\left[ e^t(2t-2)+e^t(t^2-2t+1)\right]- e^t(t^2-2t+1) \cdot 2(t^2+1)(2t)}{(t^2+1)^4}\\ &=\frac{e^t(t^2+1)^2(t^2-1)-4te^t(t-1)^2(t^2+1)}{(t^2+1)^4}\\ s''(1)&=0 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.14절 · 13번우리말 번역

아래 문장 중 참인 것과 거짓인 것을 각각 구분하세요.

(a) $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^4}{\mathrm{d}{x}^4} \sin x = \sin x$ (b) $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^4}{\mathrm{d}{x}^4} \cos x = \cos x$ (c) $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^4}{\mathrm{d}{x}^4} \tan x = \tan x$

다 풀었으면 정답 확인

(a)와 (b)에 대해 다음을 살펴보자.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sin x &= \cos x\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \cos x &= -\sin x\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \{-\sin x\} &= -\cos x\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \{-\cos x\} &= \sin x\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sin x &= \cos x \\ \text{$\sin x$ 의 4계도함수는 $\sin x$ 이고, $\cos x$ 의 4계도함수는 $\cos x$ 이므로 (a)와 (b)는 참이다.} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\tan x &=\sec^2 x\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sec^2 x &=2\sec x (\sec x \tan x)=2\sec^2x\tan x\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{2\sec^2x\tan x\}&=(4\sec x \cdot \sec x \tan x)\tan x+2\sec^2x\sec^2x\\ &=4\sec^2x\tan^2x+2\sec^4x\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{4\sec^2x\tan^2x+2\sec^4x\}&=(8\sec x \cdot \sec x \tan x)\tan^2x+4\sec^2x(2\tan x \cdot\sec^2x)\\&\quad+8\sec^3x\cdot\sec x \tan x\\ &=8\sec^2x\tan^3x+16\sec^4x\tan x \end{aligned}$

따라서 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^4}{\mathrm{d}{x}^4} \tan x =8\sec^2x\tan^3x+16\sec^4x\tan x$ 이다. 이것은 분명히 $\tan x$ 와 같지 않아 보이지만, 삼각함수의 항등식이 때로는 착각을 일으킬 수 있음을 기억해야 한다. 예를 들어 $\tan^2x+1=\sec^2x$ 등이 있다. 따라서 두 함수가 같지 않음을 확실히 하려면, 한쪽의 값이 다른 쪽의 값과 달라지는 $x$ 의 값을 찾아야 한다. $x=\frac{\pi}{4}$ 일 때: $8\sec^2x\tan^3x+16\sec^4x\tan x = 8\left({\sqrt{2}}\right)^2(1)^3+16\left({\sqrt{2}}\right)^4(1)=80\neq 1=\tan x.$ 그러므로 (c)는 거짓이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 이계도함수와 오목·볼록활용보통자동 분류