이계도함수와 오목·볼록

$$\begin{aligned} x^2+x+y&=\sin(xy) \\ \text{음함수 미분을 한다. 표기를 간단히 하기 위해 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 를 $y'$ 으로 쓴다.} \\ 2x+1+y'&=\cos(xy)(y+xy') \\ \text{우리가 구하려는 것은 $y''$ 이므로 한 번 더 음함수 미분을 한다.} \\ 2+y''&=-\sin(xy)(y+xy')^2+\cos(xy)(2y'+xy'') \\ \text{$x=y=0$ 일 때 $y''$ 의 값을 구하려고 한다. 이를 대입하면 다음과 같다.} \\ 2+y''&=2y' \\ \text{따라서 $x=y=0$ 일 때 $y'$ 의 값을 알아야 한다. 이는 등식 $2x+1+y'=\cos(xy)(y+xy')$ 에서 구할 수 있는데, $x=y=0$ 일 때 $1+y'=0$ 이 된다. 그러므로 원점에서 $y'=-1$ 이고,} \\ 2+y''&=2(-1)\\ y''&=-4 \end{aligned}$$

참고: 흔히 하는 실수는 등식 $2x+1+y'=\cos(xy)(y+xy')$ 에서 멈추고, $x=y=0$ 을 대입하여 $y'=-1$ 을 구한 다음, $y''=\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{-1\}=0$ 이라고 결론 내리는 것이다. 이는 일반적으로 쓰는 표기가 약간 엄밀하지 못하기 때문에 생기는 일이다. $y'=1$ 이라고 썼을 때 우리가 뜻한 것은 점 $(0,0)$ 에서 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-1$ 이라는 것이다. 더 엄밀하게 쓰면 $\left.\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right|_{x=0,~y=0}=-1$ 이다. 이것은 $y'=1$ 이 모든 곳에서 성립한다는 말과 다르다(그런 경우라면 실제로 $y''$ 은 모든 곳에서 0일 것이다).