이계도함수와 오목·볼록 연습문제 — CLP-1 · 2.14절 · 16번

CLP-1 · 2.14절 · 16번우리말 번역

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ 라 하자. 여기서 $a$ , $b$ , $c$ , $d$ 는 0이 아닌 상수이다. 모든 $x$ 에 대해 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^nf}{\mathrm{d}{x}^n}=0$ 이 되도록 하는 가장 작은 정수 $n$ 을 구하세요.

영어 원문 보기

Let $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ , where $a$ , $b$ , $c$ , and $d$ are nonzero constants. What is the smallest integer $n$ so that $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^nf}{\mathrm{d}{x}^n}=0$ for all $x$ ?

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정답·풀이 보기

거듭제곱 법칙을 이용하여 미분한다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}&=3ax^2+2bx+c\\ \frac{\mathrm{d}^2f}{\mathrm{d}{x}^2}&=6ax+2b\\ \frac{\mathrm{d}^3f}{\mathrm{d}{x}^3}&=6a\\ \frac{\mathrm{d}^4f}{\mathrm{d}{x}^4}&=0 \end{aligned}$

위 계산에서 $a$ , $b$ , $c$ , $d$ 는 모두 상수임에 유의한다. 이들은 0이 아닌 상수이므로 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^3f}{\mathrm{d}{x}^3} =6a\neq 0$ 이다. 따라서 4계 도함수가 처음으로 항등적으로 0이 되는 도함수이다: $n=4$ .

원본 교재 풀이(영어)

We differentiate using the power rule.

In the above work, remember that $a$ , $b$ , $c$ , and $d$ are all constants. Since they are nonzero constants, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^3f}{\mathrm{d}{x}^3} =6a\neq 0$ . So, the fourth derivative is the first derivative to be identically zero: $n=4$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.14절 · 14번우리말 번역

함수 $f(x)$ 가 $(a,b)$ 에서 $f'(x)<0$ 이고 $f''(x)>0$ 을 만족한다. 아래 곡선 중 $y=f(x)$ 를 나타낼 수 있는 것은 어느 것인가요?

다 풀었으면 정답 확인

$f'(x)<0$ 이므로 감소하는 함수여야 한다. 이는 (ii), (iii), (v)에만 해당한다. $f''(x)>0$ 이므로 $f'(x)$ 가 증가한다. 즉 함수의 기울기가 증가해야 한다. (v)에서는 기울기가 상수이므로 $f''(x)=0$ 이다. 따라서 (v)는 아니다. (iii)에서는 기울기가 감소한다. $a$ 근처에서는 곡선이 상당히 평평하지만( $f'(x)$ 가 0에 가깝다) $b$ 근처에서는 곡선이 매우 가파르게 감소하기( $f'(x)$ 가 절댓값이 큰 음수이다) 때문이다. 따라서 (iii)은 이계도함수가 음수이다. 반면 (ii)에서는 곡선이 가파르게 감소하며( $f'(x)$ 가 절댓값이 큰 음수이다) 시작하여 점점 더 평평해지므로( $f'(x)$ 가 0에 가까워진다) $f'(x)$ 는 증가한다. 다시 말해 $f''(x)>0$ 이다. 따라서 $f'(x)<0$ 이고 $f''(x)>0$ 인 곡선은 (ii)뿐이다.

이 문제로 이어서 풀기

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