삼각함수의 미분

먼저, 이 함수는 연속이다. 왜냐하면 $$\lim_{x \to 0} f(x)=\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1=f(0)$$ 이기 때문이다. 이것은 확인해 두면 유용하다. 만약 함수가 $x=0$ 에서 불연속이라면 그 점에서 미분가능하지 않다는 것을 바로 알 수 있기 때문이다.

이제 미분계수를 구하자. 극한을 이용한 정의를 사용할 수 있다.

$$\begin{aligned} f'(0)&=\lim_{h \to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}\qquad\text{ 극한이 존재하면}\\ &=\lim_{h \to 0} \frac{f(h)-1}{h}\\ &=\lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin h}{h}-1}{h} \end{aligned}$$

$h$ 가 0에 가까워지면 분자와 분모가 모두 0에 가까워진다. 따라서 이 극한의 값을 구하려면 더 많은 작업이 필요하다. 이용할 수 있는 핵심 아이디어는 교재에서 사인 함수의 도함수를 구할 때 보인 결과이다. $h$ 가 0에 가까울 때 $\cos h \leq \frac{\sin h}{h} \leq 1$ 이다. 이를 이용해 극한을 위아래로 묶고, 조임 정리를 적용한다.

$$\begin{aligned} &\cos h&&\leq&&\frac{\sin h}{h}&&\leq&&1\\ \text{따라서, }\qquad&\cos h-1&&\leq&&\frac{\sin h}{h}-1&&\leq&& 1-1=0 \end{aligned}$$

이고 $\frac{1}{h}\left(\frac{\sin h}{h}-1\right)$ 은 $0$ 과 $\frac{\cos h-1}{h}$ 사이에 있다. $\frac{\cos h-1}{h}$ 의 극한은 미분계수의 정의와 닮았음에 주목하면 구할 수 있다.

$$\begin{aligned} \lim_{h \to 0}\frac{\cos h-1}{h}&=\lim_{h \to 0}\frac{\cos(0+h)-\cos(0)}{h}\\ &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left.\left\{\cos x \right\}\right|_{x=0}=0 \end{aligned}$$

따라서 조임 정리에 의해 $f'(0) =\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{\frac{\sin h}{h}-1}{h}=0$ 이다.